《数学分析III 》期末考试卷及参考答案05

第1页共6页数学分析下册期末试题及参考答案05一、填空题（第1题每空2分，第2、3、4、5、6题每题4分，共26分）1、已知22xyue,，则ux=，uy，du；2、cossinxarybr，则(,)Jr=；3、设L：cossinxatybt0t，则22()Lxyds=；4、120(,)ydyfxydx交换积分顺序后为：；5、2221xyIxydxdy=；6、令设222Lxya：，则Lydxxdy.第2页共6页二、判断题（对的打√，错的打×，每空3分，共15分）1、若函数(,)zfxy的重极限和两个累次极限都存在，则他们必相等；（）2、若函数(,)zfxy在00(,)xy可微，则(,)zfxy在点00(,)xy一定连续；（）3、若函数(,)zfxy在闭区域D上连续，则函数(,)zfxy在D上可积；（）4、(,,)Pxyz是定义在双侧曲面S上的函数，则(,,)(,,)SSPxyzdxdyPxyzdxdy；（）5、若函数(,)zfxy的偏导数在00(,)xy的邻域内存在，则(,)fxy在点00(,)xy可微；（）三、计算题（第3、6题各7分，其余每题8分，共46分）1、求曲面22zxy与22zxy所围立体的体积.得分阅卷人得分阅卷人第3页共6页2、计算222VIxyzdxdydz，其中V是由222xyzz所围成的区域.3、利用二重积分计算椭圆面：22221xyab的面积考生答题不得过此线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶任课教师：教学班号：姓名：学号：∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶装∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶订∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶考生答题不得过此线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶任课教师：教学班号：姓名：学号：∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶装∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶订∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶第4页共6页4、计算第二型曲面积分：1SIdxdyz，其中S是椭球面2222221xyzabc的外侧.5、计算22()SIxyds，其中S为立体221xyz的边界曲面.第5页共6页6、利用高斯公式计算235SIxdydzydzdxzdxdy，其中S是单位球面2221xyz的外侧.四、证明题（6分）1、证明(3sin)(cos)xydxxydy是全微分，并求原函数(,)uxy得分阅卷人考生答题不得过此线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶任课教师：教学班号：姓名：学号：∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶装∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶订∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶第6页共6页五、应用题（7分）1、一页长方形白纸，要求印刷面积占2Acm,并使所留页边空白为：上部与下部宽度之和为：abhcm,左部与右部宽度之和为：cdrcm(A,r,h为已知数)，求页面的长(y)和宽(x)，使它的面积最小.参考答案及评分标准一、填空题（第1题每空2分，第2、3、4、5、6题每题4分，共26分）1、222xyxe，222xyye，222222xyxyxedxyedy；2、abr；3、3a；4、1210010(,)(,)xdxfxydydxfxydy；5、0；6、22a二、判断题（每小题3分，共15分）1、√；2、√；3、×；4、√；5、×三、计算题（第3、6题各7分，其余每题8分，共46分）得分阅卷人第7页共6页1、求曲面22zxy与22zxy所围立体的体积解：设所求体积为V,则2222[()]xyDVxyxydxdy，其中，22:1xyDxy（3分），令cos,sinxryr，则xyD可表示为：02,01r（4分），所以，21200()Vdrrrdr(5分)＝6（8分）2、计算222VIxyzdxdydz，其中V是由222xyzz所围成的区域解：令sincos,sinsin,cosxryrzr(2分)，则V可表示为：02,,0cos2r（4分），所以,222VIxyzdxdydz=2cos3002sinddrdr(5分)＝10（8分）3、利用二重积分计算椭圆面：22221xyab的面积解：设所求面积为S,则Dsdxdy，其中D为：22221xyab（2分），令cos,sinxarybr（3分），则D可表示为：02,01r（4分），所以，2100Sdabrdr（5分），所以Sab（7分）.4、计算第二型曲面积分：1SIdxdyz，其中S是椭球面2222221xyzabc的外侧解：记1S为椭球面0z的一侧，2S为椭球面0z的一侧，则12111SSSIdxdydxdydxdyzzz（2分），则12,SS在xoy面上的投影都是2222:1xyxyDab（3分），所以222222221111xyxyDDIdxdydxdyxyxyccabab第8页共6页＝2222121xyDdxdyxycab(5分)＝2120021abrddrcr（6分）＝4abc（8分）5、计算22()SIxyds，其中S为立体221xyz的边界曲面解：记1:1Sz，则2211xyzz，222:Szxy，则2212xyzz（2分）所以，12222222()()()SSSIxydsxydsxyds（3分）22221(12)()xyxydxdy（5分）＝21300(12)drdr（6分）＝(12)2（8分）6、利用高斯公式计算235SIxdydzydzdxzdxdy，其中S是单位球面2221xyz的外侧.解：由高斯公式得：235(235)SVIxdydzydzdxzdxdydxdydz，其中，V:2221xyz（4分），所以10IV（5分）4401033I（7分）四、证明题（6分）证明(3sin)(cos)xydxxydy是全微分，并求原函数(,)uxy证：(,)3sin,(,)cosPxyxyQxyxy，（1分）则cosPQyyx，所以(sin)(cos)xydxxydy是全微分（3分）；设原函数为(,)uxy，则0(,)(3sin)(cos)MMuxyxydxxydy（4分）取0(0,0)M,并取路径0(0,0)(,0)(,)MAxMxy，第9页共6页则000(,)(3sin)(cos)3cosxyMMuxyxydxxydyxdxxydy（5分）＝23sin2xxy（6分）（说明：原函数可以直接观察得出！）五、应用题（7分）一页长方形白纸，要求印刷面积占2Acm,并使所留页边空白为：上部与下部宽度之和为：abhcm,左部与右部宽度之和为：cdrcm(A,r,h为已知数)，求页面的长(y)和宽(x)，使它的面积最小.解：由题意，目标函数与约束条件分别为xyS与.))((,,Ahyrxhyrx（1分）作Lagrange函数],))([(AhyrxxyL（2分）则有.0))((,0)(,0)(AhyrxLrxxLhyyLyx（3分）由此解得,,111rhAhxyr（5分）于是有.,hrAhyrhArx（6分）根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的.（7分）