《数学分析》第十四章 幂级数 3

第十四章幂级数习题课(1)定义形如nnnxxa)(00的级数称为幂级数.,00时当x其中na为幂级数系数.1、nnnxa0幂级数如果级数0nnnxa在0xx处发散,则它在满足不等式0xx的一切x处发散.定理1(Abel定理)如果级数0nnnxa在)0(00xxx处收敛,则它在满足不等式0xx的一切x处绝对收敛;(2)收敛性如果幂级数0nnnxa不是仅在0x一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:当Rx时,幂级数绝对收敛;当Rx时,幂级数发散;当RxRx与时,幂级数可能收敛也可能发散.推论定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.定理2如果幂级数0nnnxa的所有系数0na,设nnnaa1lim(或nnnalim)(1)则当0时,1R;(3)当时,0R.(2)当0时,R;a.代数运算性质:加减法00nnnnnnxbxa.0nnnxc(其中21,minRRR)nnnbacRRx,,2100RRxbxannnnnn和的收敛半径各为和设(3)幂级数的运算乘法)()(00nnnnnnxbxa.0nnnxcRRx,(其中)0110bababacnnnn除法00nnnnnnxbxa.0nnnxc)0(0nnnxb收敛域内b.和函数的分析运算性质:幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内可积,且对),(RRx可逐项积分.幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内可导,并可逐项求导任意次.2、幂级数展开式如果)(xf在点0x处任意阶可导,则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)(称为)(xf在点0x的泰勒级数.nnnxnf0)(!)0(称为)(xf在点0x的麦克劳林级数.(1)定义定理)(xf在点0x的泰勒级数,在)(0xU内收敛于)(xf在)(0xU内0)(limxRnn.(2)充要条件(3)唯一性定理如果函数)(xf在)(0xU内能展开成)(0xx的幂级数,即nnnxxaxf)()(00,则其系数),2,1,0()(!10)(nxfnann且展开式是唯一的.(3)展开方法a.直接法(泰勒级数法)步骤:;!)()1(0)(nxfann求,)(0lim)2()(MxfRnnn或讨论).(xf敛于则级数在收敛区间内收b.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.),(!1!2112xxnxxenx)!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn),(x)!2()1(!41!211cos242nxxxxnn),(x(4)常见函数展开式)1,1(xnxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(2)1ln(xnxxxxnn132)1(3121]1,1(x(5)应用a.近似计算b.欧拉公式,sincosxixeix,2cosititeet,2sinieetitit.)1)(1(0敛域及和函数收求级数nnxn例1解,1)1)(1(0Rxnnn敛半径为的收,111x收敛域为,20x即则有设此级数的和函数为),(xs.)1)(1()(0nnxnxs两边逐项积分011)1(nxnx011)1)(1()(nxnxdxxndxxs01)1(nnx)1(11xx,21xx求导，得两边再对x)21()(xxxs.)2(12x.1lnarctan)(2克劳林级数展开成麦将xxxxf例2解,32)1ln(32xxxx,)1(32)1ln(216422nxxxxxnn)11(xxdxxx0211arctan又xnndxxxxx02642])1(1[12)1(75312753nxxxxxnn)11(x1210222)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022nnnnnx)11(x的幂级数．成的和函数展开将级数)1()!12(2)1(12111xnxnnnn例5解．设法用已知展开式来解的展开式，是分析xnxnnnsin)!12()1(1121112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x211sin2x