两个计数原理公开课

引言由100个碱基可以组成多少种RNA分子，你知道它是怎么算出来的吗？用16位二进制数字给汉字编码，共可以编码多少汉字？如：“中”的编码为0011011000110000两个计数原理莆田第二中学高二1班甲思考1:从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？乙火车2火车1火车3汽车1汽车23+2=5（种）分类加法计数原理.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:A大学B大学生物学化学医学物理学工程学数学会计学信息技术学法学如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?练习：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:A大学B大学生物学化学医学物理学工程学数学会计学信息技术学法学如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?C大学机械制造建筑学广告学汉语言文学韩语N=5+4+5=14(种)推广：思考2：从甲地到丙地，有3条道路，从丙地到乙地有2条道路，那么从甲地经丙地到乙地共有多少种不同的走法？甲地丙地乙地思考3：你能类比分类加法计数原理，概括出第二种计数原理吗？分步乘法计数原理思考4：类比分类加法原理的推广，分步乘法原理能推广吗？分步加法计数原理和分类乘法计数原理的共同点：计算做一件事情完成它的所有不同方法种数的问题。思考5:你能说说分类加法原理与分步乘法原理两个原理的异同点？分类加法计数原理分步乘法计数原理完成一件事，共有n类方案，关键词“分类”区别1完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”区别2区别3每类方案的任何一个方法都能独立地完成这件事情任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事相加相乘例1：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有三类方法：第1类办法是：从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类办法是：从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是：从第3层取1本体育书，有2种方法；根据分类加法计数原理，不同取法的种数是：4329N答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法.例1书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少种不同的取法？解：（2）从书架的1、2、3层各取1本书，可以分3步来完成：第1步：从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步：从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步：从第3层取1本体育书，有2种方法；根据分步乘法计数原理，从书架的1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是：43224N答：从书架的1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法。例1书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（3）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？解：从书架上任取两本不同学科的书，有三类方法：第一类方法：取计算机书和文艺书该方法分两步完成，共4*3=12种方法第二类方法：取计算机书和体育书该方法分两步完成，共4*2=8种方法第三类方法：取文艺书和体育书该方法分两步完成，共3*2=6种方法所以共有12+8+6=26种方法。例2：甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有多少种不同的推选方法？例3：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。例3：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？若用4色，结果又怎样呢？答:涂色方案种数是4×3×2×2=48思考：变式1:用5种不同的颜色给图中的4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解析：第一类：1号区域与3号区域同色时，有5×4×1×4＝80(种)涂法；第二类：1号区域与3号区域异色时，有5×4×3×3＝180(种)涂法.依据分类计数原理知不同的涂色方法有80＋180＝260(种)不同的涂色方法.1423变式2（2008·重庆）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、、、上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种.（用数字作答）1A1B1C解析：处4种，处3种，处2种，则底面共4×3×2=24（种）.根据A点和点两处灯泡的颜色相同或不相同分为两类:(1)A,颜色相同，则B处有3种，C处有1种，则共有3×1=3种;(2)A,颜色不同，则A处有2种,B处和C处共有3种，则共有3×2=6（种）.由分类计数原理得上底面共9种，再由分步计数原理得共有24×9=216（种）.1A1B1C1B1B1B例4：小明写了三封不同的信，到邮局去寄时，发现有并排四只不同的邮筒，那么他不同的投信方法有多少种？课堂小结两大原理：1、分类加法计数原理：针对的是“分类”问题.各类方法相互独立。2、分步乘法计数原理：针对的是“分步”问题。每步相互依存。两种思想：1、类比思想：由加法原理类比得到乘法原理2、从特殊到一般思想：原理的推广错解2错解分析由于每个人都是不同的个体，所以该题中不同的选法中实际是选人，而不是选方法来完成这项工作.正解9【1】一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成.从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是————易错警示（作业）正解4项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有3×3×3×3==81（种）.43说明：本题还有这样的错解，甲、乙、丙夺冠均有4种情况，由乘法原理得.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.34【2】在一次运动会上有4项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有种.错解分析错解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.错解把4个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，故有=24(种).34A3.一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡.（1）某人要从两个袋子中任取一张自己用的手机卡，共有多少种不同的取法？（2）某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，共有多少种不同的取法？解析：（1）任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事,故应用分类计数原理，有10+12=22（种）取法.（2）从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步计数原理,有10×12=120(种)取法.4.(2009·辽宁模拟)给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有多少种？解析：如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步.当先染边1时有3种染法，则边2有2种染法.（1）当3与1同色时有1种染法，则4有2种，5有1种，此时染法总数为3×2×1×2×1=12(种)；（2）当3与1不同色时，3有1种，①当4与1同色时，4有1种，5有2种；②当4与1不同色时，4有1种，5有1种，则此时有3×2×1×(1×2+1×1)=18（种）.综合(1)、(2)可得染法的种数为30种.