2013-2014版高中数学(人教A版)必修2 直线与圆的位置关系

课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练4．2直线、圆的位置关系4．2.1直线与圆的位置关系课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【课标要求】1．理解直线和圆的三种位置关系．2．会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系．【核心扫描】1．直线与圆位置关系的判定与分类，以及解析法研究几何问题的思想的体会与应用．(重点)2．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(易错点、难点)课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练自学导引1．直线与圆有三种位置关系(1)直线与圆，有两个公共点；(2)直线与圆，只有一个公共点；(3)直线与圆，没有公共点．相交相切相离课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练试一试：过平面一点P可作几条圆的切线？提示当点P在圆内时，切线不存在；当点P在圆上时，只能作一条圆的切线；当点P在圆外时，可作两条圆的切线．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练2．直线与圆的位置关系的判定方法(1)代数法：直线与圆的方程联立消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，此方程的判别式为Δ，则直线与圆相交⇔Δ＞0；直线与圆相切⇔Δ＝0；直线与圆相离⇔Δ＜0.(2)几何法：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔；直线与圆相切⇔；直线与圆相离⇔.d＜rd＝rd＞r课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练想一想：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系是从不同的方面，不同的思路来判断的，“几何法”侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；而“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练名师点睛1．直线与圆相交时弦长的求法(1)求出交点坐标，利用两点间距离公式，求出弦长；(2)利用弦长公式求：d＝|x1－x2|1＋k2＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]其中x1，x2为交点的横坐标，k为已知直线斜率．(3)设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有l22＋d2＝r2，即半弦长，弦心距，半径构成直角三角形，数形结合，利用勾股定理求解．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练2．圆的切线的求法(1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－1k，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝b或x＝a.(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：①几何方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练②代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，进而求出切线方程．③过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练题型一直线与圆的位置关系的判定【例1】已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？[思路探索]解答本题可转化成求一元二次方程根的个数，或利用数形结合转化成求直线截距的范围．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练解法一判断直线与圆位置关系问题可转化为b为何值时，方程组x2＋y2＝2①y＝x＋b②有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题．把②代入①整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0③方程③的根的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2)．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练当－2＜b＜2时，Δ＞0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；当b＜－2或b＞2时，Δ＜0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练法二圆心O(0,0)到y＝x＋b的距离d＝|b|2，半径r＝2.①当d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆相交；②当d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切；③当d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆相离．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练规律方法已知直线和圆的位置关系，求直线中参数的取值范围时，可利用代数法也可利用几何法，而数形结合(几何法)往往会使运算更简单．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【变式1】(2012·张家港高一检测)已知圆O：x2＋y2＝8，过P(4，0)的直线l的斜率k在什么范围内取值时，直线l与圆O：(1)相交；(2)相切；(3)相离．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练解法一设直线l的方程为y＝k(x－4)，由y＝kx－4，x2＋y2＝8，得(1＋k2)x2－8k2x＋16k2－8＝0，由1＋k2＞0，Δ＝(－8k2)2－4(1＋k2)(16k2－8)＝32(1－k2)．(1)当Δ＝32(1－k2)＞0即－1＜k＜1时，方程组有两组不同的实数解，直线l与圆O相交；(2)当Δ＝32(1－k2)＝0即k＝±1时，方程组有两组相同的实数解，直线l与圆O相切；(3)当Δ＝32(1－k2)＜0即k＜－1或k＞1时，方程组没有实数解，直线l与圆O相离．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练法二直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.圆心O到直线l的距离d＝|－4k|k2＋1，圆O的半径r＝22.(1)当d＝|－4k|k2＋1＜22，即－1＜k＜1时，直线l与圆O相交；课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练(2)当d＝|－4k|k2＋1＝22，即k＝±1时，直线l与圆O相切；(3)当d＝|－4k|k2＋1＞22，即k＜－1或k＞1时，直线l与圆O相离．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练题型二求圆的切线方程【例2】过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．[思路探索]利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出直线斜率，进而求出切线方程．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练解因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以|3k－1－3－4k|k2＋1＝1，即|k＋4|＝k2＋1，所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得k＝－158.所以切线方程为y＋3＝－158(x－4)，即15x＋8y－36＝0.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练规律方法求圆的切线方程时，用圆心到直线的距离求出切线方程中的参数，即得切线方程．经过圆内一点的切线不存在，经过圆上一点的切线有一条，经过圆外一点的切线有两条，若只求出一条，则说明另一条切线的斜率不存在，切线为x＝x0的形式．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【变式2】(1)求圆x2＋y2＝10的切线方程，使得它经过点M(2，6)；(2)求圆x2＋y2＝4的切线方程，使得它经过点Q(3,0)．解(1)因为点M的坐标适合圆的方程，所以点M在圆x2＋y2＝10上，由题可知圆心为C(0,0)，则直线CM的斜率kCM＝62，因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以所求切线的斜率k＝－26.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练故经过点M的切线方程为y－6＝－26(x－2)，整理得2x＋6y－10＝0.(2)容易判断点Q(3,0)在圆外，且x＝3不是圆的切线，故切线的斜率存在，设切线的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，又圆的圆心为(0,0)，半径长为2，所以|3k|k2＋1＝2，解得k＝±255.所以所求切线方程为y＝±255(x－3)．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练题型三求与直线相切的圆的方程【例3】圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程．[思路探索]由于直线2x＋y－5＝0与直线2x＋y＋15＝0互相平行，因此，这两条直线间的距离应等于直径，且圆心与切点的连线必垂直于切线．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练解设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝|15－－5|22＋12＝45，∴r＝25，∴|2a＋b＋15|22＋1＝r＝25，即|2a＋b＋15|＝10①课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练|2a＋b－5|22＋1＝r＝25，即|2a＋b－5|＝10②又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴b－1a－2＝12③由①②③解得a＝－2，b＝－1.∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练规律方法(1)明确圆心的位置及圆的半径与两平行线间的距离之间的关系是解决本题的关键．(2)要注意应用切线的如下性质：①过切点且垂直于切线的直线必过圆心；②过圆心且垂直于切线的直线必过切点．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【变式3】求圆心在直线y＝－4x上，且与直线x＋y－1＝0相切于P(3，－2)的圆的方程．解因为圆心在直线y＝－4x上，又在过切点P(3，－2)与切线l：x＋y－1＝0垂直的直线x－y－5＝0上，解方程组x－y－5＝0，y＝－4x.得圆心(1，－4)．于是r2＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝8所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练题型四弦长问题【例4】已知圆x2＋y2＝8内有一点P0(－1,2)，AB为过点P0且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．审题指导法二(代数法)：课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练[规范解答](1)法一如图(1)所示，由已知α＝135°，∴kAB＝tan135°＝－1.(2分)∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(4分)∵圆心为(0,0)，∴|OC|＝|－1|2＝22.(6分)∵r＝22，∴|BC|＝8－222＝302.∴|AB|＝2|BC|＝30.(8分)图(1)课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练法二当α＝135°时，kAB＝tan135°＝－1，(2分)∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1，(4分)代入x2＋y2＝8，得2x2－2x－7＝0.∴x1＋x2＝1，x1x2＝－72.(6分)∴|AB|＝1＋k2×[x1＋x22－4x1x2]＝2×12－4×－72＝30.(8分)课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练(2)如图(2)，当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，∵kOP0＝－2，∴kAB＝12.(10分)∴直线AB的方程为y－2＝12(x＋1)，即x－2y＋5＝0.(12分)图(2)课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【题后反思】直线与圆相交弦长问题的解决，常采用根与系数的关系或几何法(半弦长，弦心距和圆的半径构成直角三角形)来解决．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【变式4】(2012·长沙五校高一检测)直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为45，求l的方程．解根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练法一联立方程组y－5＝kx－5，x2＋y2＝25，消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.∴Δ＝[10k(1－k)]