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现代机电控制工程博士研究生课程2020/2/172现代机电控制工程质点平移系统2.1定轴旋转系统2.2机械传动装置2.3定点旋转机械系统2.4多刚体机械系统2.5受控机械系统动态模型微型机电系统2.622020/2/173现代机电控制工程前言受控机械可以有各种各样的结构形式。如果抽象为力学模型，可以分别表示为质点平移系统、定轴旋转系统、机械传动系统、定点旋转系统以及多刚体系统等。讨论受控机械系统动态模型的方法是动力学普遍定律，如牛顿第二定律、欧拉动力学方程、拉格朗日方程、相关的运动学方程以及产生电场力和磁场力的方程。应用力学原理建立受控机械系统动态模型的具体做法如下：1、列写系统微分方程组；2、通过拉氏变换将微分方程组转换为等价的代数方程组，并根据代数方程组画出系统的传递函数方块图；3、通过方块图简化，或消去代数方程组的中间变量，获得感兴趣的输出拉氏变换与输入拉氏变换之比的系统传递函数。受控机械系统动态模型22020/2/174现代机电控制工程位移机械系统的基本元件是质量、阻尼及弹簧。质点平移系统2.12.1质点平移系统2020/2/175现代机电控制工程质量：根据牛顿第二定律：阻尼：数学模型可以表示为：弹簧：根据虎克定律，弹簧的数学模型有下列方程：质点平移系统2.12020/2/176现代机电控制工程定轴旋转系统定轴旋转系统2.2定轴旋转机械系统的基本元件是转动惯量、阻尼及弹簧。2020/2/177现代机电控制工程定轴旋转系统2.2转动惯量：阻尼：弹簧：2020/2/178现代机电控制工程机械传动装置2.3机械传动装置机械传动装置是许多伺服系统不可缺少的一个重要机械部件，通常具有各种形式，如齿轮系、齿轮齿条副、丝杠螺母副、蜗轮蜗杆副、谐波齿轮等。传动装置的功能是传递动力、匹配转矩和转速。它们将能量从系统的这一部分传递到另一部分，以改变力、力矩、速度及位移的方向和大小，使得驱动电动机在额定工作条件下达到最大功率输出。2020/2/179现代机电控制工程机械传动装置2.32.3.1旋转／直线变换直线运动的负载质量可以等价转换为主动轴上的转动惯量。假设传动是理想的，那么，根据传动功率不变的原理，负载的动能应百分之百地折合到主动轴。2020/2/1710现代机电控制工程机械传动装置2.3对于丝杆螺母副而言，假设丝杆导程为L，则速比为：v/ω=x/θ=L/2π所以，负载质量折合到主动轴上的转动惯量为：对于小齿轮齿条传动和同步齿形带传动，假设小齿轮和皮带半径为r，那么速比为：v/ω=x/θ=2πr/2π=r负载质量折合到主动轴上的转动惯量为：2020/2/1711现代机电控制工程机械传动装置2.32.3.2速比折合图中一对齿轮的传动系统，主动轮1与从动轮2的转角分别为θ1和θ2，转动惯量分别为J1和J2，粘性阻尼系数分别为Bl和B2，主动轴上的驱动力矩为Mi，从动轴上的负载力矩为Mo:2020/2/1712现代机电控制工程机械传动装置2.3主动轴和从动轴旋转运动方程：假设齿轮1和齿轮2之间无传动功率消耗，则有:消去中间变量M1和M2，可得:2020/2/1713现代机电控制工程机械传动装置2.32.3.3非刚性传动链2020/2/1714现代机电控制工程机械传动装置2.3假设齿轮传动无功率消耗，令传动比:2020/2/1715现代机电控制工程定点旋转机械系统2.4在分析定点旋转机械系统时，所依据的动力学定理主要是欧拉动力学方程。在动坐标系Oxyz中，欧拉动力学方程可以表示为:2020/2/1716现代机电控制工程定点旋转机械系统2.4例如：三轴万向环架几何结构由台体、内环、外环及机座等机械部件组成，主要应用于三轴仿真转台和陀螺稳定平台等测试仪器设备中。为了建立其动态数学模型，首先引入与各个机械部件相联系的坐标系：0xbybzb―机座坐标系；0xryrzr―外环坐标系；0xpypzp―内环坐标系；0xiyizi―台体坐标系。图中外环相对机座的转角为R，内环相对外环的转角为P，台体相对内环的转角为A。2020/2/1717现代机电控制工程定点旋转机械系统2.42020/2/1718现代机电控制工程设机座的运动角速度为ω＝ωbxi+ωbyj+ωbzk，那么，各坐标系的运动角速度存在如下关系式：定点旋转机械系统2.42020/2/1719现代机电控制工程利用欧拉动力学方程来建立万向环架的动态模型。首先，考虑台体的动量矩Hi在坐标系Oxiyizi中的投影：定点旋转机械系统2.4利用欧拉动力学方程可得:2020/2/1720现代机电控制工程定点旋转机械系统2.4其次，考虑内环与台体组合件的动量矩Hp在坐标系Oxpypzp中的投影：2020/2/1721现代机电控制工程定点旋转机械系统2.4第三，考虑台体、内环及外环组合件的动量矩Hr在坐标系Oxryrzr上的投影：2020/2/1722现代机电控制工程多刚体机械系统2.5建立多刚体系统的动态模型一般采用拉格朗日方程，拉格朗日方程的具体形式如下：令Tq（q=1,2，…，n）表示n个刚体系统中的每一个刚体的动能，那么，整个系统的总动能为:进一步，令fq（q=1,2，…，n）表示在刚体容许运动方向作用于每一个刚体的广义力（矩）那么，拉格朗日方程表示为:2020/2/1723现代机电控制工程多刚体机械系统2.5一个具有质量mq的刚体在三维空间的动能是一个标量，它可以由下列关系式确定：其中，三维向量Vq表示刚体质心相对基座的线速度，三维向量Ωq表示刚体相对基座的旋转角速度。它们都在坐标系q中表示。并且，3×3矩阵Jq表示刚体相对坐标系q(当坐标系原点移到刚体质心时）的惯性矩（或惯性张量）。2020/2/1724现代机电控制工程多刚体机械系统2.52.5.1球坐标工业机器人2020/2/1725现代机电控制工程多刚体机械系统2.5由于连杆2的旋转中心与质心一致，因此，连杆2的旋转动能可表示为:而棱柱式连杆3的动能可表示为:于是，这个系统的动能为:2020/2/1726现代机电控制工程多刚体机械系统2.5若忽略摩擦力和所有其他内部的物理力，则广义力（矩）为:至此，系统的总动能T和广义力（矩）已经确定，因而可以直接利用拉格朗日方程来建立系统动态模型。2020/2/1727现代机电控制工程多刚体机械系统2.5对于q＝2有：代入拉格朗日方程，并明晰地表示出与时间有关的项，可得：对于q＝3有：代入拉格朗日方程，并明晰地表示出与时间有关的项，可得：