北大光华 金融学 第八课

©北京大学光华管理学院徐信忠1金融学概论第八课期权定价模型©北京大学光华管理学院徐信忠2期权定价中的难点债券和股票的估价：贴现现金流期权的估价-DCF不适用-给定到期日标的资产价格的分布，可以很容易地计算期权在到期日的收益-难于估计折现率©北京大学光华管理学院徐信忠3通过复制来给期权定价为了给衍生证券定价，可以构造一个股票和无风险投资的组合来复制该衍生证券在到期日的收益这个组合称为合成的衍生证券要使无套利成立，这个组合的价值必须等于交易的衍生证券的价格组合的合成等同于对冲©北京大学光华管理学院徐信忠4无套利原则与对衍生证券的定价今日到期日交易的衍生证券合成的衍生证券收益相同交易的衍生证券的价值=合成的衍生证券（组合）的价值©北京大学光华管理学院徐信忠5二项式期权定价模型要对期权进行定价，我们需要知道标的资产价格如何变动简单但非常有力的一个模型是二项式模型-在每个（很短）的时间间隔期末，股票价格只能有两个可能的取值-当时间间隔足够短，这是很好的近似-有利于解释期权定价模型背后所包含的原理-可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价©北京大学光华管理学院徐信忠6单期二项式模型收益率被定义为价格的相对数期望收益率=1.1期望方差=0.09$140$80$100今日1年概率2121©北京大学光华管理学院徐信忠7单期：给欧式看涨期权定价欧式看涨期权：0.8d,2.1,40,40,10uXST$40今日1年概率8480ucuS0320dcdSp-1p©北京大学光华管理学院徐信忠8组合(合成看涨期权)=股票+无风险资产组合复制了该期权在到期日的收益1.10=今天的$1投资在1年后的财富解方程组得到的负号意味者借入000BSV810.1480B010.1320B55.14,5.00-B0B©北京大学光华管理学院徐信忠9无套利要求含义：p的值从未使用过期望收益率无关紧要!45.555.14405.00-V45.50Vc©北京大学光华管理学院徐信忠10单期二项式期权定价的一般化今日1年概率ucuS0dcdS0p-1p?0cS©北京大学光华管理学院徐信忠11该组合复制了该看涨期权在到期日的收益解方程组得到：，和无套利要求：urTceBuS00drTceBdS00dSuSccdu00--rTudedudcucB---0dudecceVcrTdurT----,10其中©北京大学光华管理学院徐信忠12风险中性定价很自然可以被解释为是股票价格上涨的概率(风险中性概率或等价鞅测度)可以被解释为是该看涨期权在到期日的收益该期权的价值是它在到期日的期望收益按无风险利率折成的现值在下,ducc-1rTTeSSE0©北京大学光华管理学院徐信忠13Delta对冲组合的符号为正，意味着投资由股股票和一个看涨期权空头构成的组合等价于无风险投资该组合经常被称为无风险对冲组合，(delta)被称为套头比（hedgeratio）00BSc00BcS--0B-dSuSccdu00--©北京大学光华管理学院徐信忠14Black-Scholes期权定价模型期权价格和股票价格依赖于同一种不确定性来源无风险的对冲组合可以用股票和期权来构造无风险组合必然获得无风险利率这导致了Black-Scholes偏微分方程(PDE)©北京大学光华管理学院徐信忠15Black-Scholes模型的假设完美的资本市场，没有套利机会价格的瞬间变动服从波动率为常数的几何布朗运动短期利率已知，并且不随时间发生变化在期权的有效期内，标的股票不发放股利©北京大学光华管理学院徐信忠16股票价格的动态过程连续时间模型假设股票价格服从几何布朗运动（GBM）其中：：期望收益率：波动率(假设为常数)：标准Wiener过程SdWSdtdSdW©北京大学光华管理学院徐信忠17离散时间近似Z为Wiener过程，则－其中是n(0,1)分布的一个随机实现－任意互不重叠的两期的的取值相互独立ttSStzz©北京大学光华管理学院徐信忠18Wiener过程的特征的均值为0的方差为T-t的标准差为tTnzztT--,0~tTzz-tT-tTzz-tTzz-©北京大学光华管理学院徐信忠19股票收益率的特征从时间t到T收益率的均值为从时间t到T收益率的方差为从时间t到T收益率的标准差为收益率的分布：，其中tT-tT-2tT-,ntT-©北京大学光华管理学院徐信忠20股票收益率的分布股票价格服从对数正态分布，即：-,2ln~ln2SNSTtT-00.2020对数正态分布©北京大学光华管理学院徐信忠21Black-Scholes偏微分方程的导出构造一个组合，该组合的构成如下：－1单位衍生证券的空头－股股票多头zStSSzSSftSfStfSSff222221Sf©北京大学光华管理学院徐信忠22组合的价值为：在跨度为的短期内，它的价值的变动为：SSff-ttSfStfSSff--222221©北京大学光华管理学院徐信忠23因为该组合的收益率没有不确定性，所有它必须等于无风险利率。因此从上述两个方程，就可以得到Black-Scholes偏微分方程：trSSfftr-rfSfSSfrStf222221©北京大学光华管理学院徐信忠24该偏微分方程不包括！投资者的偏好不起作用！任何其价格依赖于标的股票价格的衍生证券都满足上述偏微分方程不同的衍生证券，其价值取决于上述微分方程的边界条件对于欧式看涨期权，边界条件为对欧式期权解上述偏微分方程，就得到Black-Scholes期权定价模型XScTT-,0max©北京大学光华管理学院徐信忠25Black-Scholes公式式中，是标准正态分布的累积概率分布函数21dNXedSNcr--12dSNdNXepr----212/lnrXSd-12dd.N©北京大学光华管理学院徐信忠26Black-Scholes模型在风险中性定价下的导出利用风险中性概率算出期权在到期日的期望收益用无风险利率对期望收益进行折现©北京大学光华管理学院徐信忠27欧式看涨期权的价值由下式给出：由下式给出进行一些简单的代数运算就可以得到Black-Scholes公式,0,max0-----XTTTrTTTrTtrdSSgXSedSSgXSecEecTSg2/ln2121--rSSTTeSg©北京大学光华管理学院徐信忠28期权价格的决定因素正的变化看涨期权看跌期权股票价格,S执行价格,X波动率,距离到期日的时间,无风险利率,r现金股利,d©北京大学光华管理学院徐信忠29Black-Scholes公式的应用,,年,（按连续复利计息）以及50S45X0.25i.e.-tTpa%20%6r2536.125.02.025.006.045/50ln/ln22.02122rXSd1536.112-dd©北京大学光华管理学院徐信忠30那么8950.01dN8757.02dN93.58757.0458950.05025.006.021----edNXedSNcr26.0504593.525.006.0----eSXecpr©北京大学光华管理学院徐信忠31Delta对冲Delta()：期权价格对标的资产价格的变化比率对于欧式看涨期权,对于欧式看跌期权,1dNSc10c11-dNSp01-p©北京大学光华管理学院徐信忠32估计历史波动率在间隔为年的期间观测到计算连续复利估计波动率(标准差)每年的波动率：nSSSS,,,,210-1lntttSSr--nttrrn1211ˆˆ©北京大学光华管理学院徐信忠33隐含波动率期权的隐含波动率是指让根据公式计算得到的期权价格与市场价格相等的波动率，即期权价格与隐含波动率之间存在着一一对应在柜台市场（OTC），交易者和经纪商经常不是报货币价格而是报隐含的收益率隐含波动率给出了市场总体对未来标的股票在期权有效期内的平价波动率的一致估计（预期）隐含波动率是前瞻性的M1imp,,,,crXSf-©北京大学光华管理学院徐信忠34公司负债与股东权益股东权益相当于拥有一个以D为执行价格的对于公司价值V的看涨期权EVD©北京大学光华管理学院徐信忠35公司负债与股东权益公司债权人相当于拥有一个面值为D的无风险债券和同时出售一个执行价格为D的看跌期权VDVD©北京大学光华管理学院徐信忠36认股权证筹资•认股权证（warrants）：股份公司发行的，持有者有权购买该公司股票的一种权利证书。认股权证的持有者没有投票权，也不享受股利分配，但认股权证规定的施权价随股票股利的分配而自动调整•认股权证的价值：认股权证具有期权的性质，它相当于一个股票看涨期权。因此其价值可由期权定价公式确定©北京大学光华管理学院徐信忠37认股权证的价值•N股发行在外的流通股股票•M份认股权证；每股认股权证可以以每股为X的执行价格购买股股票•股东权益的价值V=NS+MW式中，S是股票价格；W是认股权证价格•认股权证执行后的股票价格为：•认股权证持有者的收益为：MNXMVT)0,max()0,max(XNVMNNXMNXMVTT--或©北京大学光华管理学院徐信忠38认股权证的价值•认股权证的价值是或基于V/N的看涨期权的价值•使用Black－Scholes期权定价模型时-S0改为–波动率是所有股东权益的波动率-最后乘以MNXMVTNMWNSoMNN©北京大学光华管理学院徐信忠39可转换债券的价值评估•看成纯债券与看涨期权•北京燕京啤酒股份有限公司2002年10月发行7亿元可转换债券:–该债券票面利率1.2%，期限5年，每年支付一次利息–转债期在发行之日起12个月后至到期日–转股价格按照公告募集说明书前三十个交易日“燕京啤酒”股票收盘价的算术平均值9.63元为基准，上浮10%确定,转股价格为10.59元©北京大学光华管理学院徐信忠40可转换债券的价值评估以目前五年期国债利率2.59%计算，燕京转债纯粹价值约为93.56元计算公式如下：56.93)0259.1(100)0259.1(2.1551ttVB©北京大学光华管理学院徐信忠41可转换债券的价值评估•利用Black-Scholes模型对燕京可转债的股票长期看涨期权进行定价–采用燕京啤酒股票的历史波动率来替代燕京转债存续期的股票波动率–以2002年10月11日的燕京啤酒收盘价9.1元为当前市场价格–以10.59元为执行价格–以目前五年期国债利率2.59%为无风险利率•计算得每股期权的价值为1.474©北京大学光华管理学院徐信忠42可转换债券的价值评估•考虑到燕京转债面值为100元，即每份燕京转债可获得9.443份合约,意味着每张债券内含期权价值为13.92元•燕京转债的价值估值=纯债券价值+期权价值=93.56+13.92=107.48元•实际发行价：100元©北京大学光华管理学院徐信忠43市场对任命CEO的反应•1996年7月，AlDunlap被任命为Sunbeam公司