2.2.绝对值不等式的解法

不等式2.2绝对值不等式的解法0||000aaaaaa（1）实数的绝对值的代数意义：几何意义：数轴上实数a的对应点到原点的距离。（2）绝对值的性质：||0x||||xx||||xxx(0)a（3）含绝对值不等式的解法：||xaaxa||||||abab（4）绝对值的运算：||||(0)||aabbb||xaxaxa或||||||||||ababab定理：等号成立的条件：0ab（5）1||||||||||||ababab推论：1231232||||||||aaaaaa推论：123123nnaaaaaaaa绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a=0a0|x|a|x|a{x|-a＜x＜a}{x|x＞a或x＜-a}{x∈R|x≠0}RØØ新课(2)|ax+b|≤c(c0)和|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法①|ax+b|≤c___-c≤ax+b≤c②|ax+b|≥c___________________.ax+b≥c或ax+b≤-c(1)思考：不等式|x-c|+|x-b|≥a的几何意义是什么？提示：不等式|x-c|+|x-b|≥a的几何意义是：数轴上满足到坐标为c的点的距离与到坐标为b的点的距离之和大于或等于a的点的坐标的取值范围.(2)|2x-1|3的解集是______.【解析】即不等式|2x-1|3的解集是{x|-1x2}.答案：{x|-1x2}2x1332x1322x41x2.绝对值不等式的解法【方法点睛】1.解绝对值不等式的基本方法有(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.2.几种绝对值不等式的等价形式解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组)，根据式子的特点可用下列公式进行转化.(1)|f(x)|＞a(a＞0)f(x)＞a或f(x)＜-a;(2)|f(x)|＜a(a＞0)-a＜f(x)＜a;(3)|f(x)|＞g(x)f(x)＞g(x)或f(x)＜-g(x);(4)|f(x)|＜g(x)-g(x)＜f(x)＜g(x);(5)|f(x)|＞|g(x)|[f(x)]2＞[g(x)]2.【例1】(1)不等式|2x-1|1的解集为______；(2)不等式|x2-9|≤x+3的解集为______；(3)(2011·江西高考)对于x∈R，不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为______.【解析】(1)转化为不含绝对值的不等式；(2)利用绝对值的定义或|f(x)|≤a(a≥0)-a≤f(x)≤a去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解；(3)不等式的左边含有两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”.解：(1)由|2x-1|1得-12x-11,解得0x1,∴原不等式的解集为{x|0x1}.(2)方法一：原不等式或不等式组或3≤x≤4.不等式组∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.22x90x9x3①22x90,9xx3②x3x3x33x4①或3x32x3.x3x2②或方法二：原不等式等价于∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.2x30x3x9x3x3x3x23x4，或方法三：设y1=|x2-9|,y2=x+3(x≥-3)，由|x2-9|=x+3，解得x1=4,x2=-3,x3=2.在同一坐标系下作出y1,y2的图像.从图中可看出使y1≤y2的x的取值范围是x=-3或2≤x≤4.∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}.(3)①当x≤-10时，原不等式变为：-x-10+x-2≥8,即-12≥8，不符合要求；②当-10x2时，原不等式变为：x+10+x-2≥8,即2x≥0,解得0≤x2;③当x≥2时，原不等式变为：x+10-x+2≥8,即12≥8,恒成立，∴x≥2.综上所述，原不等式的解集为{x|x≥0}.【反思·感悟】用“零点分段法”解|x-a|+|x-b|≥c或|x-a|+|x-b|≤c型不等式的一般步骤为：(1)令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；(2)将这些根按从小到大排序并把实数集分为若干个区间；(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；(4)取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集.含绝对值不等式的恒成立问题【方法点睛】对于恒成立不等式求参数范围问题，常见类型及其解法如下(1)分离参数法运用“f(x)≤af(x)max≤a,f(x)≥af(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.(2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.(3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题.【例2】(1)若不等式|x+1|-|x-3|a的解集为R，则a的取值范围为______.(2)(2011·陕西高考)若不等式|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是______.【解析】(1)求出|x+1|-|x-3|的取值范围，只要a小于|x+1|-|x-3|的最小值即可；(2)求出|x+1|+|x-2|的取值范围，只要a不大于|x+1|+|x-2|的最小值即可.解：(1)方法一：因为|x+1|-|x-3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(-1)，B(3)距离的差，即|x+1|-|x-3|=|PA|-|PB|.由绝对值的几何意义知，|PA|-|PB|的最大值为|AB|=4，最小值为-|AB|=-4，即-4≤|x+1|-|x-3|≤4.∵不等式|x+1|-|x-3|a的解集为R，∴a的取值范围为a-4.方法二：由|x+1|-|x-3|≤|x+1-(x-3)|=4.|x-3|-|x+1|≤|(x-3)-(x+1)|=4.可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4.∵不等式|x+1|-|x-3|a的解集为R，∴a的取值范围为a-4.(2)当x≤-1时，|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2=-2x+1≥3;当-1x≤2时，|x+1|+|x-2|=x+1-x+2=3;当x2时，|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-13;综上可得|x+1|+|x-2|≥3,所以只要a≤3,即实数a的取值范围是(-∞,3］.答案：(1)(-∞,-4)(2)(-∞,3］【反思·感悟】对于含参数不等式的存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为Ø的对立面(如f(x)m的解集是Ø，则f(x)≤m恒成立)也是不等式恒成立问题，要注意区别.