1-3-1-诱导公式二、三、四

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修4第一章三角函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4第一章三角函数第一章三角函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4第一章1．3三角函数的诱导公式第一章三角函数成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4第一章1．3.1诱导公式二、三、四第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4课前自主预习课堂典例讲练课后强化作业第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4课前自主预习第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4温故知新1．若sinα＋cosα＝2，则tanα＋1tanα的值为()A．1B．2C．－1D．－2[答案]B第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]∵(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝2，∴sinαcosα＝12.又∵tanα＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝1sinαcosα，∴原式＝2.故选B.第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修42．已知sinα＋cosα2sinα－cosα＝2，则tanα＝________.[答案]1[解析]由sinα＋cosα2sinα－cosα＝tanα＋12tanα－1＝2，解得tanα＝1.第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修43．(2011大纲全国高考，文14)已知α∈(π，3π2)，tanα＝2，则cosα＝________.[答案]－55第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]∵α∈(π，3π2)，tanα＝2，∴sinαcosα＝2.又sin2α＋cos2α＝1，∴5cos2α＝1，∴cosα＝－55.第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修44．求下列各函数的值：(1)sin(－2820°)；(2)tan33π4；(3)cos9π4.[答案](1)sin(－2820°)＝32；(2)tan33π4＝1；(3)cos9π4＝22.第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4新课引入对称美是日常生活中最常见的，你知道三角函数的对称美吗？第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4如果把x轴看成平面镜，那么平面直角坐标系中的角α关于x轴对称的角的度数是多少？这个角的三角函数值与角α的三角函数值有什么关系？第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4自主预习认真阅读教材P24－26回答下列问题．1．特殊角的终边对称性(1)π＋α的终边与角α的终边关于对称，如图(1)；(2)－α的终边与角α的终边关于对称，如图(2)；(3)π－α的终边与角α的终边关于对称，如图(3)；原点x轴y轴第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4(4)π2－α的终边与角α的终边关于直线对称，如图(4)．y＝x第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4已知α的终边与单位圆的交点为P(－12，32)、π＋α，－α、π－α、π2－α的终边与单位圆分别交于P1、P2、P3、P4，则有()A．P1(－12，32)B．P2(12，32)C．P3(12，32)D．P4(－32，12)[答案]C第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]由于π＋α，－α，π－α，π2－α的终边与α的终边分别关于原点、x轴、y轴、直线y＝x对称，则P1(12，－32)，P2(－12，－32)，P3(12，32)，P4(32，－12)．第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修42．诱导公式公式一sin(α＋2kπ)＝sinαcos(α＋2kπ)＝cosαtan(α＋2kπ)＝公式二sin(π＋α)＝cos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝tan(－α)＝－tanα公式四sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝tan(π－α)＝说明：(1)公式一中k∈Z.(2)公式一～四可以概括为：a＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.tanα－sinαcosα－cosα－tanα同名函数值第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[破疑点]诱导公式一～四可用口诀“函数名称不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号．第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4若cosα＝m，则cos(－α)等于()A．mB．－mC．|m|D．m2[答案]A第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4若sin(π＋α)＝13，则sinα等于()A.13B．－13C．3D．－3[答案]B第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4已知tanα＝4，则tan(π－α)等于()A．π－4B．4C．－4D．4－π[答案]C第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修43．公式一～四的应用第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4若cos61°＝m，则cos(－2041)°＝()A．mB．－mC．0D．与m无关[答案]B第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]cos(－2041°)＝cos2041°＝cos(5×360°＋241°)＝cos241°＝cos(180°＋61°)＝－cos61°＝－m.第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4课堂典例讲练第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4思路方法技巧命题方向1求值问题利用诱导公式求任意角三角函数的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[特别提醒]牢记0°，30°，45°，60°，90°角的正弦、余弦和正切值对给角求值问题很重要！第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4求下列三角函数值：(1)sin960°；(2)cos(－43π6)．[分析]先将不是[0°，360°)范围内角的三角函数，转化为[0°，360°)范围内的角的三角函数(利用诱导公式一)，或先将负角转化为正角，然后再用诱导公式化到[0°，90°]范围内的三角函数的值．第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析](1)sin960°＝sin(960°－720°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.(2)cos(－43π6)＝cos43π6＝cos(7π6＋6π)＝cos7π6＝cos(π6＋π)＝－cosπ6＝－32.第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[点评]用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为[0°，360°)内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”(有时也直接化到锐角求值)．第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4已知sinα＝－35，且α是第四象限角，求tanα[cos(3π－α)－sin(5π＋α)]的值．[分析]先利用诱导公式对其化简，再利用同角三角函数的关系求值．第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]tanα[cos(3π－α)－sin(5π＋α)]＝tanα[cos(π－α)－sin(π＋α)]＝tanα(－cosα＋sinα)＝tanαsinα－tanαcosα＝sinα(tanα－1)．∵sinα＝－35，α是第四象限角，∴cosα＝45，tanα＝－34∴原式＝(－35)×(－34－1)＝2120.第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4解决条件求值问题策略解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值．[分析]分析题意可知，首先利用诱导公式求出sinα的值，再由诱导公式及同角三角函数的基本关系式求解．第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]∵sin(π＋α)＝－sinα，∴sinα＝13，∴cosα＝±1－cos2α＝±1－132＝±223又∵cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cosα＝±223.第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4若cos(π－α)＝－13，32πα2π.则sin(5π＋α)的值是多少？第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]∵cos(π－α)＝－cosα∴cosα＝13，又∵3π2α2π∴sinα＝－1－cos2α＝－223∴sin(5π＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα＝223.第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4命题方向2三角函数式的化简问题三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数；(3)注意“1”的变形应用．第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4化简：(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；(2)sin2α＋πcosπ＋αtanπ－αcos3－α－πtan－α－2π.[分析]先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析](1)原式＝(－sinα)·cos(π＋α)·tanα＝－sinα·(－cosα)·sinαcosα＝sin2α.(2)原式＝－sinα2·－cosα－tanα·－cosα3·－tanα＝－sin2αcosα－tan2α·cos3α＝1.第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4设k为整数，化简：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α.第一章1.31.3.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修4[解析]当k为偶数时，不妨设k＝2m(m∈Z)，则原式＝sin2mπ－αcos[2m－1π－α]sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α＝sin－αcosπ＋αsinπ＋αcosα＝－sinα－cosα－s