搜索
点击进入相应模块第五章单元复习课一、轴对称中的相关概念1.轴对称图形.如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.2.轴对称.对于两个平面图形，如果沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴.3.轴对称与轴对称图形的区别与联系.(1)区别.①轴对称是指两个平面图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的平面图形；②轴对称涉及两个平面图形，轴对称图形是对一个平面图形而言的.(2)联系.①定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合；②如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个平面图形)，那么这两个平面图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把成轴对称的两个平面图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.4.等腰三角形.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.5.等边三角形.三边都相等的三角形叫做等边三角形.二、轴对称的性质和判定1.轴对称与轴对称图形的性质.(1)轴对称图形(或关于某条直线对称的两个平面图形)的对应线段(对折后重合的线段)相等，对应角(对折后重合的角)相等.(2)成轴对称的两个平面图形全等，轴对称图形被对称轴分成的两个平面图形全等.(3)如果两个平面图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.(4)两个平面图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交,那么交点在对称轴上.ABCDE2.等腰三角形、等边三角形的性质和判定.名称项目等腰三角形等边三角形性质①边：两腰相等②角：两个底角相等(等边对等角)③重要线段：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)④对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线①边：三边都相等②角：三个角都相等，都等于60°③重要线段：与等腰三角形的相同④对称性：是轴对称图形，对称轴有三条名称项目等腰三角形等边三角形判定①利用定义②等角对等边①利用定义②三个内角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形生活中的轴对称轴对称现象基本概念两个图形成轴对称轴对称图形对称轴简单的轴对称图形等腰三角形的性质轴对称图形的性质对称性“三线合一”底角相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等应用图案设计轴对称和轴对称图形【相关链接】1.区别与联系：轴对称图形是对一个图形而言,成轴对称是对两个图形而言.如果把成轴对称的两个图形看做一个整体,那么它又可以看成是一个轴对称图形.2.轴对称的性质：对应线段相等,对应角相等,对应点的连线被对称轴垂直平分.【例1】(2012·连云港中考)下列图案是轴对称图形的是()【思路点拨】【自主解答】选D.把D选项沿一直线折叠，直线两侧部分能重合，故D选项是轴对称图形.其余图形均不能找到一条直线,使图形沿该直线折叠,直线两侧的部分能完全重合,所以不是轴对称图形.线段垂直平分线与角平分线的性质【相关链接】依据线段垂直平分线的性质及角平分线的性质,结合轴对称的性质,可以解决实际生活中的路线之和最短、路线相等等方案设计问题.【例2】(2012·德州中考)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如图.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置(保留作图痕迹，不要求写出画法).【思路点拨】利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题.【自主解答】根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点.(1)作两条公路夹角的平分线OD或OE;(2)作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD,OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置.等腰三角形【相关链接】“三线合一”，即顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高三线重合，是解决等腰三角形问题的关键.【例3】(2012·济南中考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数.【思路点拨】首先根据AB=AC，利用等边对等角和已知的∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，再根据已知的BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数.【自主解答】因为AB=AC，∠A=40°，所以∠ABC=∠C=(180°-40°)=70°.又BD是∠ABC的平分线，所以∠DBC=∠ABC=35°，所以∠BDC=180°-∠DBC-∠C=75°.1212【命题揭秘】结合近几年中考试题分析，轴对称的内容考查主要有以下特点：1.命题的内容及形式为：轴对称的性质、相关的图案设计、与轴对称相关的计算和逻辑推理证明等.题型较全，一般有选择题、填空题和解答题，多属于中、低档题.2.命题趋势：轴对称是近几年各地中考的热点之一，所占的比重有继续上升的趋势.1.下列四个图案中，轴对称图形的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】选C.要判别一个平面图形是否是轴对称图形，只需能找到一条直线，使整个平面图形沿着这条直线折叠后两边能完全重合，其中第①②④个图形均可以找到这样的直线，但第③个不能找到这样的直线，所以第③个图不是轴对称图形，故选C.2.(2012·江西中考)等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是()(A)20°(B)50°(C)60°(D)80°【解析】选B.因为等腰三角形的一个顶角为80°,所以底角=(180°-80°)÷2=50°.3.如图所示是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三边的距离相等,则凉亭的位置应选在()(A)△ABC的三条中线的交点(B)△ABC的三边的中垂线的交点(C)△ABC的三条角平分线的交点(D)△ABC的三条高所在直线的交点【解析】选C.根据角平分线上的点到角两边的距离相等,所以凉亭的位置应选在三个角的角平分线的交点处.4.(2012·淮安中考)如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC=70°，则∠BAD=_______.【解析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合(三线合一)，可得∠BAD=∠BAC=35°.答案：35°125.(2012·随州中考)等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_____________.【解析】当边长为6的边为腰时，则底为16-2×6=4;当边长为6的边为底时,则另两边分别为5,5，根据三角形三边关系可知，三边也可以构成三角形.所以两种情况均成立.答案：6和4或5和56.做如下操作：在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于点D.将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的像与△ACD重合.对于下列结论：①在同一个三角形中,等角对等边;②在同一个三角形中,等边对等角;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合.由上述操作可得出的是_______(将正确结论的序号都填上).【解析】题意中没有∠B=∠C这条件,因而不能得出结论①;根据轴对称的性质可以得出∠B=∠C,从而得出结论②;根据等腰三角形的性质“三线合一”可以得出结论③.答案：②③7.(2012·江西中考)如图,已知正五边形ABCDE,请用无刻度的直尺,准确画出它的一条对称轴(保留画图痕迹).【解析】如图,直线AK即为所求的一条对称轴(解答不惟一).8.(2012·北海中考)已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°.(1)作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明).(2)连接DE，求证：△ADE≌△BDE.【解析】(1)作出∠B的平分线BD;作出AB的中点E.(2)因为∠ABD＝×60°＝30°，∠A＝30°,所以∠A＝∠ABD.又因为∠AED=∠BED=90°，DE＝DE,所以△ADE≌△BDE.129.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足，连接EC.(1)求∠ECD的度数.(2)若CE=5，求BC长.【解析】(1)因为DE垂直平分AC，所以CE=AE，∠ECD=∠A=36°.(2)因为AB=AC，∠A=36°，所以∠B=∠ACB=72°.因为∠ECD=36°，所以∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°，∠BEC=72°=∠B，所以BC=CE=5.