第五章 弯曲内力

1弯曲内力一、工程实例第一节引言2二、基本概念◆受力特点：◆变形特点：外力垂直于其轴线或外力偶作用面在轴线所在平面内。变形时杆件的轴线由直线变成曲线。1.弯曲变形的特点2.梁：以弯曲为主要变形的杆件。33.梁的计算简图◆梁的简化：通常以梁的轴线代替◆载荷类型：集中力、分布载荷、集中力偶◆支座类型：FRAAAA(2)活动铰支座A(1)固定铰支座FRAyAFRAx4(3)固定端A4.静定梁的基本形式◆简支梁◆外伸梁◆悬臂梁FRAyFRAxMAA5ABF6梁的轴线ABFRBFRAF1qMe梁变形后的轴线与外力在同一平面内纵向对称面：由竖向对称轴与梁的轴线一起构成7当梁上所有的外力均作用在纵向对称面内时，变形后梁的轴线弯成一条位于纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。5.平面弯曲8[例1]起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度的重量为38kN/m,起吊重物的重量为100kN,试求起重机大梁的计算简图.q=38kN/mF=100kN9第二节梁的支座反力梁的支座反力计算举例。[例2]试求图示简支梁A、B支座处的约束反力。ABF1m1m解:(1)取梁AB为研究对象(2)作受力图(3)列平衡方程0,xFR0AxF0,yFRRBAyFFF0,AMR210BFFABF1m1mRAyFRBFRAxF(4)解方程，得R2BFFR2AyFF10[例3]试求图示外伸梁B支座处和C支座处的约束反力。解:(1)取外伸梁AC为研究对象(2)作受力图(3)列平衡方程lAB2lqC0,xFR0AxFlAB2lqCRBFRCxFRCyF0,yFRR302BCyFFql0,CMR33024BqllFlR98BFqlR38CyFql(4)解方程，得11[例4]试求图示悬臂梁A支座处的约束反力。解:(1)取悬臂梁AB为研究对象(2)作受力图(3)列平衡方程lAFBM0,xF0,yF0,AMR0AxFR0AyFF0AMFlM(4)解方程，得RAyFFAMMFllAFBMRAxFRAyFAM[例5]已知如图，F，a，l.求距A端x处截面上内力.解:求支座反力BAalFFAyFAxFBABF第三节剪力和弯矩一、梁横截面上的内力0,xF0AxF0,yFBAyFFF0,AM0AxF解得求内力——截面法弯曲构件内力剪力：FS弯矩：MFAyFAxFBABFmmxFAyFSMCFFBCFSM14二、剪力和弯矩的正负号规定◆剪力FS符号：SFSFnnnnSFSFn-n截面的左段相对右段向上错动时，n-n截面上的剪力规定为正值。或剪力以使其对所作用的微段梁内任意一点的矩顺时针转向为正，即“顺转向为正”。反之为负。即n-n截面的左段相对右段向下错动时，n-n截面上的剪力规定为负值。或剪力以使其对所作用的微段梁内任意一点的矩逆时针转向为负，即“逆转向为负”。15◆弯矩M符号或以使其作用的微段梁产生凹变形的弯矩规定为正，即“凸向下为正”。nnnnnnMnnnnnnMMM使横截面上部受压、下部受拉的弯矩为正。反之为负。即以使其作用的梁产生凸变形的弯矩规定为负，即“凸向上为负”。16q/4l[例6]试求图示简支梁指定截面的剪力和弯矩ql/4l/2qlSFMC解：计算支座反力画受力图，假设剪力和弯矩均为正由平衡方程0,yFS/2/40FqlqlS/2/4/4Fqlqlql得剪力由平衡方程0,CM02448qllqllM得弯矩23244832qllqllMql截取右侧梁段，/2ql/2ql17三、用截面法计算指定截面的剪力和弯矩1.在指定截面处假想的将梁截开，取其中的任一段为研究对象；2.画出所选梁段的受力图，受力图中的剪力FS和弯矩M应假设为正；3.由平衡方程求出剪力FS；0yF4.由平衡方程求出弯矩M，其中C为指定截面的形心。0CM18[例7]图示悬臂梁，受集中力F和集中力偶Me=Fl的作用，试计算截面1–1、2–2、3–3上的剪力与弯矩。其中1–1截面无限接近于A截面、2–2截面无限接近于B截面、3–3截面无限接近于C截面。解：（1）计算支座反力0,yFR0CFF0,CMe0CMMFl求得RCFF0CM19（2）计算1–1截面处的剪力和弯矩2lACeM2l112233FCMRCFByxS1FA1MF110,yFS10FF110,M10MF求得S1,FF10MF（3）计算2–2截面处的剪力和弯矩0,yFS20FF220,M202lMFS2FA2l2MF22求得S2,FF212MFl44202lACeM2l112233FCMRCFByx（4）计算3–3截面处的剪力和弯矩0,yFS3R0CFF330,MR30CCMFMS3RCFFF30CMM求得S3FC3MRCF33CM21解：（1）计算支座反力0,BMR2101200CF0,yFRR100BCFFR15kNCFR5kNBF求得[例8]图示外伸梁AC承受10kN的集中力和的集中力偶的作用，试求横截面A+、D-与D+的剪力和弯矩。其中A+代表距A无限近并位于其右侧的截面、D-则代表距D无限近并位于其左侧的截面。20kNmAA20kNmBC1m1m1mDD10kN22（2）计算截面A+处的内力0,yFS0AFS0,AF0,iAMF200AM20kNmAM求得SAFAAM20kNmA（3）计算截面D-处的内力0,yFRS0BDFF0,DMR1200DBMFRS5kN,BDFF15kNmDM求得AA20kNmBC1m1m1mDD10kN23（4）计算截面D+处的内力1mAB1m10kNCRBFRCF1m20kNmDDAyx0,yFSR0DCFF0,DMR10DCMFSR15kNDCFF15kNmDM求得四、计算剪力和弯矩的简便方法1.剪力FS等于截面一侧与截面平行的所有外力的代数和。其中若对截面左侧所有外力求和，则外力以向上为正；若是对截面右侧所有外力求和，外力则以向下为正。2.弯矩M等于截面一侧所有外力对该截面形心矩的代数和。对于外力，无论是位于截面左侧还是右侧，只要向上，对截面形心的矩都取正值，向下则取负值。至于外力偶，若位于截面左侧，则以顺时针为正；若在右侧，则以逆时针为正。即“左上右下”外力为正值。即“左顺右逆”外力偶为正值。25[例9]一简支梁，在CD段内受均布载荷作用，如图所示。试求跨中截面E的弯矩和C截面的剪力。612.510Nmq解：（1）计算支座反力6RR510NBAFF由对称性易得支座反力为（2）计算指定截面上的剪力和弯矩6SR510NyCAFFF6R0.40.830.43.1510Nm2EEAMMFq截面C：看左侧求其剪力截面E：看左侧求其弯矩ACED400400830830B12.5kN/m26第四节剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图一、剪力方程和弯矩方程若以沿梁轴线的横坐标x表示横截面的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数,这两个函数数学表达式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。1.剪力方程SSFFxMMx2.弯矩方程27◆以x为横坐标，以弯矩M为纵坐标，绘制所得的图形称为弯矩图；xMM图的坐标系O◆剪力为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧。◆弯矩为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧。二、剪力图和弯矩图◆以x为横坐标，以剪力FS为纵坐标，绘制所得的图形称为剪力图；xFSFS图的坐标系O28[例10]如图所示，简支梁AB在截面C处受到集中载荷F作用。试建立梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（1）计算支座反力0,AM0BFlFa0,BM0AFbFl求得,BFFalAFbFl（2）列剪力方程和弯矩方程AC段和CB段的剪力方程、弯矩方程不同，必须分段列出。ABFabl29以梁的左端为坐标原点AC段0xaSAFbFxFlAFbMxFxxlCB段axlSAFbFaFxFFFllAFaMxFxFxalxl（3）作剪力图和弯矩图SFFblFalxFablxM结论：在集中力作用处，剪力图有突变，而弯矩值没有变化，但弯矩图在该截面处发生转折。ABFablxx30[例11]如图所示简支梁，承受载荷集度为q的均布载荷作用，试建立梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（1）计算支座反力由对称性可得支座反力2ABqlFF（2）列剪力方程和弯矩方程以梁的最左端A点为坐标原点S02AqlFxFqxqxxlqlx3122110222AqlMxFxqxxqxxl（3）作剪力图和弯矩图2qlSF2qlxxM28qlqlxS02AqlFxFqxqxxl32[例12]如图所示悬臂梁，承受均布载荷q作用，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并作梁的剪力图和弯矩图。解：（1）计算支座反力0,yFR0AFql0,AM02AlMqlR,AFql22AqlM求得（2）列剪力方程和弯矩方程以梁的最左端A点为坐标原点AqBRAFxxlAMy33S0Fxqlxxl2012xlMxqlx（3）作剪力图和弯矩图AqBRAFxxlAMyqlxSFxM22ql34[例13]如图所示简支梁，在C截面处承受矩为Me的集中力偶作用，试建立梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（1）计算支座反力0,AMeR0BFlM0,yFRR0BAFF求得eR,BMFleRAMFl（2）列剪力方程和弯矩方程AC段和CB段的剪力方程、弯矩方程不同，必须分段列出。35以梁的最左端A点为坐标原点xbACleMBRAFRBFaxyAC段eSRAMFxFlReAMMxFxxl0xaCB段axleSRBMFxFleRBMMxFlxlxl（3）作剪力图和弯矩图SFeMlxeMblxeMalM结论：在集中力偶作用处，其左、右两侧横截面的剪力没有变化，但弯矩图有突变，突变值就等于该处集中力偶矩的值。36第五节剪力、弯矩与载荷集度间的关系一、剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系xydxxABqqxmnnm假设直梁上作用的分布载荷集度q(x)是x的函数，规定q(x)以向上为正。将x轴的坐标原点取在梁的左端.剪力、弯矩、载荷集度间的微分关系式:37SddFxqxxSddMxFxx22ddMxqxx◆剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；◆弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;◆根据q(x)＞0或q(x)＜0来判断弯矩图的凹凸性。说明：M(x)图为向上凸的二次抛物线.FS(x)图为向右下方倾斜的直线.xFS(x)O二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系1.梁上有向下的均布荷载,即q(x)=q0M(x)21121d2qxCxqxCxC2.梁上无荷载区段，q(x)=0剪力图为一条水平直线.弯矩图为一斜直线.xFS(x)O当FS(x)0时,向右上方倾斜.当FS(x)0时,向右下方倾斜.xOM(x)OM(x)x40SddFxqxxSddMxFxx22ddMxqxx3.若在梁的某一截面处，剪力FS=0，则弯矩M(x)在该截面取得极值（极大值或者极小值）。4.在集中力作用的左、右