数列基础知识点和方法归纳

数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质定义：（为常数），，推论公式：()(，)等差中项：成等差数列,()等差数列前项和：性质：是等差数列（1）若，则（下标和定理）注意：要求等式左右两边项数相等（2）数列12212,,nnnaaa仍为等差数列，仍为等差数列，公差为dn2；（3）若三个成等差数列，可设为；（4）若是等差数列，且前项和分别为，则；（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.当，由可得达到最小值时的值.(6)项数为偶数n2的等差数列，有),)(()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanSndSS奇偶，1nnaaSS偶奇.（7）项数为奇数12n的等差数列，有)()12(12为中间项nnnaanS,naSS偶奇，.1nnSS偶奇1nnaadd11naandxAy，，2Axyn11122nnaannnSnadnamnpqmnpqaaaa；232nnnnnSSSSS，，……adaad，，nnab，nnnST，2121mmmmaSbTna2nSanbnab，nnS2nSanbnna100ad，100nnaanSn100ad，100nnaanSnnana2.等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.推论公式：(且)等比中项：成等比数列，或.等比数列中奇数项同号，偶数项同号()等比数列前n项和公式：{()()()性质：是等比数列（1）若，则(下标和定理)注意：要求等式左右两边项数相等。（2）仍为等比数列,公比为nq。.（3）是正项等比数列，则{}是等比数列。注意：由求时应注意什么？时，；时，.1nnaqaq0q11nnaaqxGy、、2GxyGxynamnpqmnpqaaaa··232nnnnnSSSSS，，……nanSna1n11aS2n1nnnaSS3.求数列通项公式的常用方法（1)定义法求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列）（2）已知的关系与n或的关系时与nnas，求。)2()1(11nssnsannn例：数列的前项和．求数列的通项公式;解：当时，当时数列的通项公式为．练习：设数列的前项和为，且．求数列的通项公式。（3）求差（商）法例：数列，，求解：时，，∴①时，②①—②得：，∴，∴练习：在数列{}中，，(),求数列{}的通项公式。(4)累乘法形如()的递推式由1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaa，，，两边分别相乘得，1111()nnkaafkanSnana12211125222nnaaan……na1n112152a114a12211125222nnaaan……2n12121111215222nnaaan……122nna12nna114(1)2(2)nnnan例：数列中，，求解，∴又，∴.练习：已知(),求数列{}的通项公式。（5）累加法形如()的递推式。由，求，用迭加法时，两边相加得∴例：已知数列满足(),()求与的值。（2）求数列的通项公式练习：已知数列中，，（）．求数列的通项公式；（6）构造法形如（为常数，）的递推式。可转化为等比数列，设令，∴，∴是首项为为公比的等比数列∴，∴例：已知数列满足，.求数列的通项公式；解：（1），，而，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，，因此．na1131nnanaan，na3212112123nnaaanaaan·……·……11naan13a3nan110()nnaafnaa，na2n21321(2)(3)()nnaafaafaafn…………1(2)(3)()naafffn……0(2)(3)()naafffn……1nnacadcd、010ccd，，111nnnnaxcaxacacx(1)cxd1dxc1ndac11dacc，1111nnddaaccc·1111nnddaaccc练习1：已知数列{}中，求数列na的通项公式。练习2：已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。（7）倒数法例：，求由已知得：，∴∴为等差数列，，公差为，∴，∴练习：已知数列的首项，。()求数列的通项公式。总结：公式法、利用1(2)1(1)nnSSnSnna、累加法、累乘法.构造等差或等比1nnapaq或1()nnapafn、待定系数法、对数变换法、迭代法。11212nnnaaaa，na1211122nnnnaaaa11112nnaa1na111a1211111122nnna·21nan4.求数列前n项和的常用方法（1）定义法：如果已知数列为等差或者等比数列，这用对应的公式求和等差数列前项和：等比数列前n项和公式：{()()()常见公式：∑()()()(),[()]（2）错位相减法给两边同乘以一个适当的数或者式，然后把所得的等式与原等式相减，对应项互相抵消，最后得出前n项的和.一般适用于为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.例：①②①—②1x时，，时，练习：已知数列是等差数列，是等比数列，且，，．（1）求数列和的通项公式（2）数列满足，求数列的前项和．(2)裂项法把数列的通项公式拆成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和。常见形式：①若是公差为的等差数列，则()②()()()③()()(()()())④√√(√√)⑤√√(√√)n11122nnaannnSnadnanbnnabnnnSqSnSqnb2311234nnSxxxnx……23412341nnnxSxxxxnxnx·……2111nnnxSxxxnx……2111nnnxnxSxx1x11232nnnSn……nad如：是公差为的等差数列，求解：由∴练习：已知数列的前n项和，①求数列的通项公式；②求数列的前n项和。（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.相加［练习］已知，则由∴原式（3）分组求和法有一类数列，既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆分开，可分为几个等差或等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可。一般适用于为等差数列，为等比数列，求数列{}前项和。练习：已知数列为等差数列，公差为d，为等比数列，公比为q，且d=q=2，,①求{}的通项公式，②求{}的前项和。nad111nkkkaa11111110kkkkkkdaaaaddaa·11111223111111111111nnkkkkkknnaadaadaaaaaa……11111ndaa121121nnnnnnSaaaaSaaaa…………12112nnnnSaaaaaa……22()1xfxx111(1)(2)(3)(4)234fffffff2222222111()111111xxxfxfxxxxx11111(1)(2)(3)(4)111323422fffffffnanbnnanb