数列极限复习

数列的极限一、数列的概念二、数列的极限三、用定义证明极限举例四、收敛数列的性质数列、数列举例、数列的几何意义极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的几何意义极限的唯一性、收敛数列的有界性收敛数列与其子数列间的关系一、数列的概念如可用渐近的方法求圆的面积？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积：．．．．．．1r四边形2r八边形3r十六边形一个实际问题2sin221rA4sin422rA8sin823rAnnrAn2sin22数列：如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n有一个确定的数xn，则得到一列有次序的数x1，x2，x3，…，xn，…这一列有次序的数就叫做数列，记为{xn}，其中第n项xn叫做数列的一般项．数列举例：21，32，43，…，1nn，…；数列举例：2，4，8，…，2n，…，一般项为2n一般项为12n1，-1，1，…，(-1)n1，…；一般项为(-1)n+1一般项为21，41，81，…，n21，…；2，21，34，…，nnn1(-1)-，…．nnn1(-1)-数列的几何意义：数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数：xn=f(n)，它的定义域是全体正整数．x1x8x7x6x5x4x3x2xnOx数列与函数：x1=f(1)x2=f(2)x3=f(3)x4=f(4)x5=f(5)x6=f(6)．．．．．.xn=f(n)数列{xn}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1，x2，x3，…，xn，…．二、数列的极限例如如果数列没有极限，就说数列是发散的．nlimxna．而{2n}，{(-1)n1}，是发散的．,11nnnlim,021nnlim．nnn1(-1)-nlim数列的极限的通俗定义：对于数列{xn}，如果当n无限增大时，数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a，则称常数a是数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛a．记为如果，那么函数极限的四则运算法则：bxgaxfxxxx)(lim,)(lim00baxgxfxx)()(lim0baxgxfxx)()(lim0)0()()(lim0bbaxgxfxx（1）（C为常数）特别地aCxfCxfCxxxx)(lim)(lim00（2）*)(lim)(lim00Nnaxfxfnnxxnxx（1）当x时，函数f(x)极限的运算法则：以上法则对于x→∞的情况仍然成立：如果limxf(x)=a,limxg(x)=b,那么limx（f(x)±g(x)）=a+b；limx（f(x)·g(x)）=a·b；limxf(x)g(x)=ab(b≠0)注：1）可推广到有限个数列的极限运算;limx(f(x))n=an。limx[C·f(x)]=Ca(C为常数）；2)由此可得：数列极限的四则运算法则：如果：aannlimbbnnlim那么：babannn)(limbabannn)(lim)0(limbbabannn注：1）可推广到有限个数列的极限运算；2）由此可得：，。kknnaa)(limCaaCnn）（lim,...1,...31,21,1n几个基本数列的极限：观察归纳0lim,01limnknnn)1(,...,,...,,,32qqqqqnnlim-)1(01)q(1)11(qqqqn或不存在,...,...,,,cccc(C为常数)C=Cnlim(C为常数)（k是常数，是正整数）例1：求下列极限000303-nnn21lim)1(2nnnn2lim1lim2nn1lim20-nnn23lim)2(-nn23limnnn2lim3lim-nn1lim23-232lim)3(22nnnn223lim12limnnnn22lim3lim1lim2limnnnnnn20230324223lim)4(nnnnn-231213limnnnn--2312lim13limnnnnn231lim2lim1lim3limnnnnnnn-00020-1）如果f(n)的次数=g(n)的次数则极限为最高次系数比2）如果f(n)的次数g(n)的次数则极限为03）如果f(n)的次数g(n)的次数则极限不存在总结：)()(ngnfnlim其中f(n)，g(n)都是关于n的多项式方法：分子，分母同除以n的最高次幂例2.在半径为R的圆内接正n边形中,rn是边心距,pn是周长,Sn是面积(n=3,4,5,……）.（1）Sn与rn、pn有什么关系？（2）求（3）利用（1）（2）的结果，说明圆面积公式S=πR2;limlimnnnnpr与OrnR解：nnnprS21)1(（2）当n→∞时，正n边形与它的外接圆无限接近，rn无限趋近于圆半径，pn无限趋近于圆周长。因此RrnnlimRpnn2lim例2.在半径为R的圆内接正n边形中,rn是边心距,pn是周长,Sn是面积(n=3,4,5,……）.（3）利用（1）（2）的结果，说明圆面积公式S=πR2OrnR解：（3）当n→∞时，Sn无限趋近于圆面积S，即2221limlim2121limlimRRRprprSnnnnnnnnnlimnnSS另一方面，由(1)(2)的结果，应有因此，S=πR22321limnnn例3.求下列数列的极限：注：对于无穷项数列的极限，不能直接使用运算法则计算每一部分的极限之和，只能先求和再求极限。22)1(21lim321limnnnnnnn解：nnn21lim212321lim)1(nnn])1(13)1(7)1(4[lim)2(---nnnnnnnn])13)(23(1741411[lim)3(-nnn求下列极限a=－4;b=2212331已知,求,5limnna3limnnb).43(limnnnba-已知，求常数的值.1)2122(lim2-bnnannnba、例求下列极限：2271lim26nnnn2312lim23nnnn-2313lim23nnnn-1、数列极限的四则运算法则=0，=0nlimn1nknlimnlim-)1(01)q(1)11(qqqqn或不存在C=Cnlim(C为常数)3、选择变形方法要观察：通项公式的结构2、几个基本数列的极限：小结：练习与作业