第4章 光在波导中的传播

第四章光在波导中的传播光波被约束在确定的介质中传播时，由这种介质构成的光波通道称为光学介质波导，或简称为光波导光通信的迅速发展，促进了对与之有密切联系的光波导技术的研究。光波导技术是一种以光的电磁场理论为基础，对光波实施限制和传输的技术。其中，介质波导和光纤是两种最常用和最重要的光波导。下面将以射线理论和电磁场理论分析光波在介质波导和光纤中的传导模式和传播特性，并介绍导波光学器件的典型应用。第一节光在平板波导中的传播一、平板光波导的射线理论平板型波导是介质波导中最简单、最基本的结构，理论分析也具有代表性。故本节就平板型波导从射线理论和电磁场理论两个方面进行分析。n0θxhn1zn2图4-1平板波导及其中的射线路径（一）导波与辐射模最简单的平板型光波导是由沉积在衬底上的一层均匀薄膜构成（因而又叫做薄膜波导），如图4-1所示，它的折射率n1比覆盖层（通常为空气）的折射率n0及衬底层折射率n2都高，且n1n2n0。设薄膜厚度为h，沿y方向薄膜不受限，在薄膜与衬底的界面（下界面）上平面波产生全反射的临界角为，而在薄膜与覆盖层的界面（上界面）上平面波产生全反射的临界角为，根据全反射原理，有：0c1c121arcsinnnc100arcsinnnc由于n2n0，所以，当平面波的入射角变化时，波导内可产生不同的波型。当入射角满足时，入射平面波在上下界面均产生全反射，此时形成的波称为导波。01cc9010cc只有导波能将能量集中在波导中导行，在平板型光波导中即是由导波来传输光能量的。而辐射模却通过界面向外辐射能量，是不希望存在的寄生波。10cc10cc当时，在下界面的全反射条件被破坏；当时，上下界面的全反射条件均被破坏。在这两种情况下均有一部分能量从波导中辐射出去，此时的波称为辐射模。（二）平板光波导中的导波1.波的特征方程与横向谐振条件当平面波的入射角大于临界角时才能形成导波。但在的范围内，的取值并不是连续的，只有当入射角满足某些条件时，才能在薄膜中形成导波。图4-2表示平板波导中构成导波的平面波示意图，实线ABCD和A’B’C’D’代表平面波的两条射线。虚线BB’和CC’则代表向上斜射的平面波的两个波阵面，cBC’DAB’A’CD’射线等相面图4-2平板波导中的平面波所以B、B’点应有相同的相位，C、C’点也有相同的相位。可见由B到C和由B’至C’所经历的相位变化之差为的整数倍。于是两射线的相位差为：2,222)(01''10mCBBCnk其中：,2,1,0m根据图中的几何关系，上式可变为：mhnk222cos20110式中n1、h是薄膜波导的参数，k0是自由空间的波数，它决定于工作波长，、与波导的结构参数n1、n2、n0和入射角有关。当波导和入射波长给定时，上式是关于未知数的方程，它确定了形成导波的入射角的条件，因而叫薄膜波导的特征方程。特征方程是讨论导波特性的基础。10全反射时相位变化cossinarctan1222211nnnscossinarctan1202210nnns而对于TM波（即电场矢量E平行于纸面的p波），有：122222211/cossinarctannnnnp120202210/cossinarctannnnnp从B’到C’，平面波在其传播方向上没有经历过反射，其相位变化了,而从B到C，平面波在B点和C点各经历了一次全反射。在C点（下界面）全反射时相位变化了，而在B点（上界面）全反射时相位变化了，这里，相位变化都以反射波比入射波超前计算。根据全反射时相位变化公式，对于TE波（即电场矢量E垂直于纸面的s波），有：1202''10CBnk特征方程中是薄膜中波矢量在x方向的分量，它是薄膜中的横向相位常数，可表示为：cos10nkcos101nkkx于是特征方程可写为：mhkx2222011该式表明，由波导的某点出发，沿波导横向往复一次回到原处，总的相位变化应是的整数倍。这使原来的波加强，即相当于在波导的横向谐振，因而叫做波导的横向谐振条件。横向谐振特性是波导导波的一个重要特性。22．导波的模式对给定的波导、工作波长和整数m，由特征方程可求出形成导波的入射角。以该角入射的平面波即形成一个导波模式。当、以s波的表达式代入时，得出模式为TE波；当以p波的表达式代入时，得出模式为TM波。当m=0,1,2,…时，可得到TE0、TM0、TE1、TM1、TE2、TM2…模。m表示了各模式的特点，称为模序数。10各模式的特性可用横向相位常数k1x及以下几个参数表示：sin101nkkz2122102)/(sinnnnk2102100)/(sinnnnk横向相位常数k1x决定导波模式在薄膜内的横向驻波规律，和决定导波在上、下界面的横向衰减规律，即决定了导波模式的横向分布图形。称为轴向相位常数(或传播常数)，它表示导波模式的纵向传播规律，是导波的一个重要参数。02对于给定的模式有确定的值，因而也有确定的轴向相位常数。但特征方程是超越方程，得不到解析形式的解。图4-3是根据数值解画出的-曲线，它表明了的变化范围及变化规律。不能小于，否则将会出现辐射模。也不能大于，因而对于导波，是被限制在两条直线所夹的扇形区域之中的。图中、、分别是m=0,1,2时导模的截止频率。20nk10nk0c1c2c10nk禁区01220nk辐射模0c1c2c图4-3m=0,1,2时导波的-曲线3.截止波长在平板波导中，上下界面之一的全反射条件被破坏，导波即处于截止状态。由于n1n2n0，所以当时导波处于截止临界状态。特征方程可写成如下形式：1c1010cos2mhn对一个给定的模式，m是常数。如果工作波长变化，必须调整平面波的入射角，才能满足特征方程，形成导波。当时，导波转化为辐射模，此时的波长就是该模的截止波长，截止波长用表示。由上式有1cc1011cos2mhncc由特征方程，波长越大，要求相应模式光波的入射角越小。因此，截止波长实际上是波导内允许存在的光波的最大波长。由于下界面处于全反射临界状态，因而不管对TE波还是TM波，都有，01122212121)/(1cosnnnnnc因此截止波长表示为：022212mnnhc对于TE模和TM模，把不同的代入上式即可得到相应的截止波长。显然，各模式的截止波长由波导参数n1、n2、n0和h决定，与入射光频率无关，它是表示波导本身特征的物理量。不同的模式有不同的截止波长，模序数越高，截止波长越短。TE0模和TM0模的截止波长最长。模序数相同的TE模和TM模的截止波长不同。TE模的截止波长较TM模的长，因而在所有的波导模式中，TE0模的截止波长最长。0对于n2=n0的所谓对称平板波导，截止波长为：mnnhc22212该式对TE模和TM模都适用，这就是说，对于对称波导，模序数相同的TE模和TM模具有相同的截止波长。但是，TE0模（或TM0模）的截止波长=∞，此时没有截止现象，这是对称波导的特有性质。c4.单模传输与模式数量由于TE0模的截止波长最长，因而它的传输条件最容易满足。在波导术语中，把截止波长最长（截止频率最低）的模式叫做基模。平板波导中的TE0模即是基模。如果波导的结构或选择的工作波长只允许TE0模传输，其它模式均截止，则称为单模传输。)()(000TETMcc当n1与n2差别不大时，TE0模和TM0模非常接近，难以分开，此时仍可认为是单模传输。因此，单模传输的概念并不严格。●单模传输的条件是：与该m对应的模式处于截止状态，而比它低的模式处于导行状态。波导中导波模式的数量是TE模和TM模的模式数量之和。膜越厚（h越大），n1与n2差别越大，波导中的模式数量就越多。当单模传输的条件被破坏（如工作波长缩短）时，即出现多模共存现象。多模共存时的模数量可由特征方程求得：0222102nnhm●模数量二、平板光波导的波动理论用射线法讨论平板波导，物理概念清楚、明确，得出的许多结论不仅对平板波导，而且对其它形式的介质波导也是很有价值的。但对波导中各模式对应的电磁场的具体分布形式，射线法尚不能给出满意的解答，必须应用电磁场的波动理论结合波导的边界条件来确定。n0θxhn1zn2图4-1平板波导及其中的射线路径设在平板波导中，衬底和覆盖层的长度延伸到无穷远，薄膜的宽度远大于它的厚度。因此，可以认为平板波导中的光波只在x方向受到限制（见图），并设平板波导的几何结构和折射率分布沿y方向不变，即折射率分布n(x)只与x有关，相应的模式也只是x坐标的函数。为简单起见，下面只讨论TE模的场分布形式。对于TE模，在图4-1所选的坐标系中，它的电磁场分量为、和。由于电场与磁场有确定的关系，因此下面只分析电场Ey。yExHzH对于定态单色波，其电磁场满足波动方程，若不考虑时间因子，则波动方程将转化为亥姆霍兹方程。对于TE模，其电场只有沿y方向的一个分量Ey，并且Ey可以表达为)exp()(zixEEyy式中，是传播常数。将上式代入亥姆霍兹方程，得到各层中的电场应满足的亥姆霍兹方程：,0)()()(222022xEnkxxEyjyj=0,1,2对于的非对称波导，当时，由于是导波，在薄膜中应是驻波解，可用余弦函数表示；在衬底和覆盖层中应是衰减解，可用指数函数表示。在覆盖层、波导和衬底中的解Ey(x)可以表述为：02nn1020nknk0),exp(0),cos()],(exp[)(221100xxAxhxkAhxhxAxExy上式中，A0、A1、A2是三个区域中的电场复振幅，是一常数相位角，k1x是薄膜内x方向的横向相位常数，和是导波在上、下界面的横向衰减常数。将Ey(x)各表达式代入亥姆霍兹方程得到：022020220nk2212021nkkx2220222nk薄膜波导中的边界条件为：在x=0和x=h处，电场强度的切向分量Ey连续，磁场强度的切向分量Hz(∝dEy/dx)连续，得：21cosAA（在x=0处，Ey连续）2211sinAkAx(在x=0处，Hz连续)011)cos(AhkAx00111)sin(AhkkAxx（在x=h处，Ey连续）(在x=h处，Hz连续)有了上述7个方程式，就可联解出场方程Ey(x)中的7个未知数，再由模式本征方程可求出不同m值对应的值。这样，就可以确定出覆盖层、波导和衬底中的场分布。下图给出了TE0、TE1、TE2及TE3四种模式的场分布。可以看出，在波导内，场呈余弦分布，而在覆盖层和衬底内，均作指数衰减。三、耦合模理论在实际应用中，常常要求将一个光波导中的能量耦合到相邻的光波导中去，以实现方向耦合、开关、调制、滤波等功能。另一方面，光波导间的耦合有时又是有害的。因此，有必要研究在光波导中传输模间的耦合问题。下面以两个并列的条形波导为例说明此问题。折射率为n1和n2的两个条形波导并列于折射率为n3的衬底中，一个波导位于另一个波导的倏逝波的范围内，彼此间存在着较弱的耦合。由此简单模型出发，导出模间耦合的公式，并讨论典型的激发条件。（一）耦合模方程首先假设在波导1、2中分别传输着模式E1、E2，彼此间不存在耦合，则E1或E2均可表示为：)](exp[),(),,,(0ztiyxAtzyxE且满足微分方程：EidzdE0式中，A(x,y)是横截面的场分布。当两个波导靠得很近时，将发生两件事：第一，由于几何结构的变化传播常数将发生变化；第二，因为两个波导彼此处于对方的倏逝波区，所以两波导间将发生功率交换。(4-1)(4-2)考虑到两波导间的功率交换，微分方程式（4-2）变为：121222212111EcEidzd