第二章 系统的数学模型讲述

1机械控制工程基础第二章系统的数学模型第一节系统的微分方程第二节拉氏变换与反变换第三节传递函数第四节系统方框图及其简化第五节信号流图与梅逊公式▼▼▼▼▼学习重点简单物理系统的微分方程和传递函数的列写及计算；（重点掌握）了解非线性模型的线性化方法；结构图和信号流图的变换与化简;（重点掌握）开环传递函数和闭环传递函数的推导和计算。数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。数学模型的主要形式：引言数学模型微分方程传递函数频率特性结构框图信号流图复域时域※LL-1频域静态模型：在稳态时（系统达到平衡状态）描述系统各变量间关系的数学模型。动态模型：在动态过程中描述系统各变量间关系的数学模型。`为什么要建立控制系统的数学模型控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的认识上升到定量的精确认识的关键！（这一点非常重要，数学的意义就在于此）二、建立数学模型的依据通过系统本身的物理特性来建立。如力学三大定律、流体力学定律、电学定律、欧姆定律、克希霍夫定律等三、数学模型的特点1、实物→（抽象）数学表达式2、不同的控制系统可以具有相同的数学模型相似系统：控制系统中具有相同的数学模型的系统。3、同一控制系统可以有不同的数学模型同一控制系统具有各种物质运动形式（机械传动、电磁量运动、热变形等），而不同的物质运动形式又分别受不同的物理规律约束，因而建立的数学模型可能不同。Ui(S)U0(S)1/RR1CSR2I1(S)I2(S)I(S)+-U0(S)+建立数学模型的方法：解析法（机理分析法）根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。实验法（系统辨识法）给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。一、控制系统微分方程的分类线性系统：可由线性微分方程描述的系统。线性微分方程是指微分方程是定常和线性的。非线性系统：一般来说，这样的模型是由非线性微分方程和非线性差分方程给出的，对这类模型的辨别可以采用线性化，展开成特殊函数等方法。第一节系统的微分方程借助表达系统输入、输出之间动态关系的微分方程：i=0,1…nj=0,1,…m可对系统进行描述。1、线性定常系统ai,bj都不是xo(t)和xi(t)及它们导数的函数，也不是时间的函数；2、线性时变系统ai,bj是时间的函数；3、非线性系统ai,bj有一个依赖xo(t)和xi(t)或它们导数，或者在微分方程中出现时间的其他函数形式。)()(...)()()(...)(0)1(1)(0)1(1)(txbtxbtxbtxatxatxaiimimoononoooii()3()7()4()5()xtxtxtxtxtoooii()3()7()4()5()txtxtxtxtxt2ooooii()3()7()4()5()xtxtxttxttxx2二、微分方程模型的建立根据系统物理机理建立系统微分方程模型的基本步骤：（1）确定系统中各元件的输入、输出物理量；注意：输入量包括给定输入量和扰动量（2）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素，适当简化；注意：负载效应，非线性项的线性化。（3）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系；（4）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。（5）整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。()(1)o1o1o0o()()()()nnnnaxtaxtaxtaxt()(1)i1i1i0i()()()()mmmmbxtbxtbxtbxt21FbvFv2v1b21ddvFmtFv2v1m21dktvFv2v1Fk质量弹簧阻尼一）机械系统211ditCv21ddiLvtv2v1iCv2v1iL21vRi电路元件两端电位差v21二）电网络电感电阻电容v2v1iR两端相对速度v21mfxkckxfmcxfkxcxmxmxcxkxf例1：图示机械系统m-c-k，列写微分方程。1.明确：2.牛顿第二定律列写原始微分方程：3.整理：系统输入f(t)系统输出x(t)d1ddiuLiRitCtddqit...1LqRqquC例2：图示电网络，列写微分方程。1.明确系统的输入与输出：输入u(t)，输出电量q2.列写原始微分方程：3.消除中间变量，并整理uiLRrTmfxJk1k2B1B21()Tk11()rkBfJ22...fmxBxkxxr122222...()()JmrxBBrxkrxrT例3：列写微分方程1.明确：输入T，输出x(t)2.微分方程：3.消除中间变量f、q，并整理：0i1i2u1u2R2R1C2C11112111()diRiituC222122111d()diRitiitCC2221dituC2221122112212212dd()dduuRCRCRCRCRCuutt例4：图示电网络，列写微分方程。1.明确系统的输入与输出：输入u1，输出u22.列写微分方程：3.消除中间变量i1、i2，并整理：aadaddiLiReutddekLddJMMtmaMkimamdmdmd1,,,TLRJTTCCRkkkJ令2ammdmam2LaLddddddTTTCCTCttuMtM例5直流电动机1.明确输入与输出：输入ua和ML，输出2.列写原始微分方程：3.消除中间变量，并整理：LRiauai2=constML励磁电流负载力矩ML电动机ua电机的反电势ed反电势常数kd电磁力矩M电磁力矩常数km得LRiauai2=constML励磁电流负载力矩damLCuCMa0L0uM(,,)da0mL0CuCMaa0auuuLL0LMMMammda0amaL0LmL0L()''()'()()()'()TTTCuuCTMMCMM设平衡点ammdamaLmL()''()'()'TTTCuCTMCM设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型当偏离平衡点时，有则增量化即有2LammdamamL2ddddddMTTTCuCTCMttt1.增量化方程与实际坐标方程形式相同2.当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。机械系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为机械系统的等效网络）物理本质不同的系统可有相似的数学模型，同一数学模型可以描述不同的系统。我们可以利用简单易实现的系统（如电的系统）去模拟其它难于实现的系统（机械系统）......三、建立微分方程模型的步骤：分析系统的工作原理，确定输入量和输出量；将系统分解为各环节，建立各环节输入量、输出量之间的动态联系。消去中间变量，求出系统的微分方程。标准化微分方程。输入量——右端，输出——左端；降幂排列。四、非线性微分方程的线性化严格地讲，线性系统并不存在。所谓的线性系统，也只是在一定的范围内保持其线性关系。目前，非线性系统理论还远远不完善，往往在一定条件下，将描述非线性系统的非线性微分方程线性化处理，使其成为线性微分方程来处理。线性系统：满足叠加原理非线性系统：不满足叠加原理系统x1(t)x2(t)y2(t)y1(t)系统ax1(t)++bx2(t)ay1(t)+by2(t)通常控制系统工作状态为稳态，系统受到各种扰动，产生偏差。线性化即在小偏差范围内用直线代替曲线，即在平衡点附近，用一次线性函数取代高次函数。※ffIU0tan化方程：线性。取增量为变量，得到得：忽略。的高次项趋于零，可以很小，则若偏差泰勒级数：xxxfyyxxxxxfxxxfyy00'00200''00'0......!2x1x2y系统对于多元函数，如y=f(x1,x2)，平衡点为(y0,x10,x20)在平衡点邻域内进行小偏差线性化：0yyykx1）只有一个变量的非线性函数y=f（x）线性化00220002()1()()()()2!xxdfxdfxyfxxxxxdxdx忽略二阶以上各项，可写成)()()(000xxdxxdfxfyx小偏差线性化的数学处理:0yyykx※2）具有两个自变量的非线性函数，设输入量为x1(t)和x2(t)，输出量为y(t)，系统正常工作点为y0＝f(x10,x20)。忽略二阶以上各项，可写成10201102201222222110110220220221122(,)()()1()2()()()2!ffyfxxxxxxxxfffxxxxxxxxxxxx)()(),(202210112010xxxfxxxfxxfy01122yyyKxKx※.4第三节传递函数1110111101()()()....()()()....nnooonnonnmmiiimmimmttdtdxdxxtaaaaxdddtttttdtdxdxxtbbbbxdddttt0......00121xsssxnnnnnxxsXtL有：)()]([),()]([stLstLXoxoXixi令：sXstxLsXstxLxxxxxxonnoimminmiii，都为零，则：，，，都为零，，，即：若系统初始状态为零，0.....00,0.....0010001已知微分方程:sXbsbsbsbsXasasasaimmmmonnnn01110111..........换，得：，对微分方程作拉氏变当系统初始状态为零时11101110.....,.....mmommnninnssXbsbsbbGsssasasaaX令定义：当零初始状态下时，线性定常系统输出量与输入量的拉氏变换之比，称为系统传递函数。G(s)Xi(s)Xo(s)框图表示系统的变换关系：一、传递函数的定义1.定义系统固有特性系统与外界联系传递函数的几点说明：G(s)只表示输入量和输出量之间的关系，是一种函数关系，取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关，这种函数关系在信号传递的过程中得以实现。传递函数是在零初始条件下定义的，原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且具有复变量函数的所有性质；一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，故传递函数只适用于单输入单输出系统；传递函数只适用于线性定常系统，否则拉氏变换无法导出.2.关于传递函数的几点说明11101110..........mmmmnnnnsbsbsbbGssasasaa令N(S)=0的根称为传递函数的零点，用“○”表示；令D(S)=0的根称为传递函数的极点，用“×”表示。系统传递函数的分母多项式称为特征多项式，D(S)=0称为特征方程，极点称为特征根。根据多项式定理，传递函数的一般形式也可写成：1212()()()...()()()()()()...()()omminnXsbsZsZsZNsGsXsasPsPsPDs12,,...,mzzz