保险学 第二章 人身保险的数理基础章

第二章人身保险的数理基础本章结构第一节寿险精算概述第二节利息理论第三节生命表和生命函数第四节人寿保险保费第一节寿险精算概述一、寿险精算的概念二、寿险精算的起源三、寿险精算的内容与意义一、寿险精算的概念就是运用数理知识，对人身保险中的保费、责任准金、红利等进行科学计算。计算的基础：死亡率、利率、费用率。1、第一张生命表1693年，英国天文学家、数学家爱德华·哈雷，根据德国布雷斯劳市居民的死亡资料，编制了世界上第一张生命表。--奠定了保险精算的基础。2、第一张保险费率表18世纪，托马斯·新普森在哈雷生命表的基础上编制了第一张保险费率表。2、寿险精算的起源三、寿险精算的内容与意义1、寿险精算的内容保险费率、责任准备金、红利等的确定。2、寿险精算的意义把数理统计知识运用于保险定价。使保险定价更加科学。3、寿险精算的基础概率论和大数法则。第二节利息理论主要内容一、利息的度量二、年金一、利息的度量主要内容累积函数利息利率单利与复利现值函数一年计息m次的实际利率与实际贴现率利息力1、累积函数0AAattta0tAA:或单位货币经过t年后的价值。A0为本金，At为t年后的价值。2、利息投资获得的报酬。t年内的利息为：第n年的利息为：)(000aaAAAIttt)(101nnnnnaaAAAI3、利率单位资本的获得的利息。1111112112210011n1nnnnnnnaaaAAAiaaaAAAiaAAAi年：第第二年：第一年：例一设：at=ct2+d(c、d为常数），a5=126,A0=100求：A10、、i10dctat2解：a0=1a5=126得：c=5d=1所以：at=5t2+1A10=A0a10=50100i10=(a10-a9)/a9=0.2334、单利与复利（1）单利设年利率为i，期初本金为11+i1+2i1+it1012tat=1+it复利设利率为i，期初本金为1。1+i(1+i)2(1+i)t1012tat=(1+i)t例二李刚94年1月1日从银行借款1，000元，假设年利率为12%，试分别以单利和复利计算：（1）96年1月1日时，他需还银行多少钱?（2）几年后需还款1，500元？解：（1）A1=1，000（1+it）=1，000（1+0.12×2）=1，240元A2=1，000(1+i)2=1，254.4元（2）1，500=1，000（1+it1）t1=4.17年1，500=1，000(1+i)tt2=3.58年5、现值和贴现率现值函数。未来t年1单位货币在现在的值。（1）单利：各年1元的现值。it111+i1+2i1+it111111/1+i1/1+2iittv11折现过程0.（2）复利设年利率为i，各年1元的现值。1+i（1+i）2（1+i）t11111i112)1(1iti)1(1折现过程titv)1(10复利条件下：折现因子：折现函数：iv11ttvv贴现率1）计息的方式。滞后利息期初利息例：购买一年期面值为100元的国债，第一种方法：一年后还本付息110元；10元为滞后利息，是期初本金上的增加额。---利息。第二种方法：购买时90元，一年后按面值返还。10元为期初利息，是期末值的减少额。---贴现额。.2）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。年贴现额=Andn=An-An-1以An为标准的减少额。年利息=An-1in=An-An-1以An-1为标准的增加额。nnnnnnaaaAAAnd113）贴现率与利率或：iiiiiaaannnnnnd1)1()1()1(11ddivid14）贴现率与折现因子公式一及：公式二及：vd1dv1tttdvv)1(ttda)1(例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10%求：1）90年1月1日的现值为多少？2）年利率为多少?3）折现因子为多少？解：1）A0=1000(1-d)4=656.1元2)3）v=1-d=0.9%1.111ddi作业1、李华90年1月1日在银行帐户上有5，000元存款。1）在每年10%的单利下，求94年1月1日的存款。2）在每年8%的复利下，求94年1月1日的存款。。2、张军94年初在银行帐户上有10，000元存款。1）在复利11%下计算90年的现值。2）在11%的贴现率下计算90年的现值。6、一年计息m次的实际利率与贴现率例：期初本金为1元，年利率为10%。如果一年计息一次，则年末积累值为1.10元。如果一年计息两次，则年末积累值为（1+10%/2）2=1.1025元即年实际利率为10.25%1）实际利率：每个度量时期内结转一次利息的利率。名义利率：每个度量时期内多次结转利息的利率。设年名义利率为i（m），年实际利率为i。每次计息的实际利率为i（m）/m。则：所以：或：mmimi)1(1)(1)1()(mmimi]1)1[(1)(mimim2）实际贴现率：每个度量期内贴现一次的贴现率。名义贴现率：每个度量期内多次贴现的贴现率。设年名义贴现率为d(m),实际贴现率为d，则：每次的贴现率为所以：或：mdm)(mmdmd)1(1)(mmdmd)1(1)(])1(1[1)(mdmdm例（1）求每月结算的年利率为12%的实际利率；（2）求每季结算的年贴现率为10%的实际贴现率。解（1）（2）结论：结转次数越多，实际利率越大，实际贴现率越小。%68.121)1(1212)12(ii%63.9)1(144)4(dd例2，000元的本金在6%的名义利率下投资，如果每年结转4次利息，求：2年零6个月后的积累值；解共计息10次元08.2321)1(2000104%6tA例:一张尚需6个月到期的债券，其面值为2，000元，如果名义贴现率为6%，一年贴现4次，求该债券现在的价格为多少？解：1）P=或：2）元45.1940)1(200024%6元45.1940%)8663.51(2000%8663.5)1(15.04406.0Pd7、利息力瞬时利率。度量资本在某一时点上的获利能力。1）常数利息力定义：)(limmmi。]1)1[(lim1mimm'1'111)(]1)1[(1)1(limlimmmmmimim)1ln(i)1ln()1(limlim121211)()1)(1ln(iimmmmmiim或：所以：a）b）1eivlnev例：设1）4）值。求：dvdii,,,,08.0)4()12(07623.0)1(1)3074.0)207721.0)1(1)4(441)12(1212)4()12(dddiidiii9259.0)507696.0)1ln(11ivi第一章生命分布函数第一节生命的一般分布函数主要内容：1、生命状态2、死亡函数、生存函数3、余命函数4、取整余命5、几种生存函数假设一、生命状态1、生存状态、死亡状态；2、单生命状态、多生命状态。二、x分布函数1、死亡函数设一个人从出生到死亡的时间为x，即人的寿命。是一个随机变量，用f(x)表示其分布函数，则：)Pr()(xXxF)0(xx0)0(F又称为0岁的人在岁之前死亡的概率。通常假定且F(x)是一个连续型随机变量。1)(F2、生存函数s(x)用表示0岁的人在x岁还活着的概率，则：)Pr()(xXxs0x)(1)(xFxs显然：3、0岁的人在x1岁和x2岁之间死亡的概率)()()Pr(1221xFxFxXx)()(21xsxs