大学物理-机械波

第13章机械波中国国家管弦乐团在联合国总部的演出一.波的分类什么是波？振动在空间的传播就形成了波.机械振动在弹性介质中由近及远地传播形成机械波。产生条件1.机械波波源：作机械振动的物体｛弹性介质：承担传播振动的物质（遵循经典的力学规律）u§13.1机械波的产生和传播2.电磁波变化的电场和变化的磁场(电磁振动)在空间的传播过程形成电磁波，如光波、无线电波、x—射线等。产生条件｛宏观：凡做加速运动的电荷都是电磁波的波源例：天线中的振荡电流微观：分子或原子从高能级向低能级的跃迁（可以在真空或介质中传播）（遵循麦克斯韦电磁场理论）3.物质波（概率波）物质波是微观粒子的一种属性，与经典的波相比具有完全不同的本质。（遵循量子力学理论）{波的共同特点：1...，2...，3...}二.横波和纵波横波：介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；如弹性绳上传播的波.u纵波：介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；如空气中传播的声波.(就机械波而言:气体和液体内只能传播纵波，不能传播横波）振动曲线ty结论0t4Tt2TtTt43TtTt451234567891011121314151617184Tt2TtTt43TtTt45Tt230t123456789101112131415161718横波纵波(1)波动中各质点并不随波前进；yux波动曲线(2)在波的传播方向上各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播；(3)波动曲线与振动曲线不同。xπ2ABCu三.波面和波线沿波的传播方向作的有方向的线。波线波线在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。(振动状态与波面)波面波前在某一时刻，波传播到的最前面的波面。球面波柱面波波面波线波面波线在各向同性均匀媒质中，波线⊥波面。注意xyz平面波平面波某时刻，在同一条波线上，是否有振动相位相同的点？是否有振动状态相同的点？同一波线上相位差为2的质点之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离。四.波长周期频率和波速波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了波的时间周期性。单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率与周期的关系为T1振动状态在媒质中的传播速度。波速与波长、周期和频率的关系为:）波长（:）周期（T:）频率（:）波速（u波长反映了波的空间周期性。波速与波长、周期和频率的关系为uTTu(1)通常波的周期和频率与媒质的性质无关；与波源振动的周期和频率相同。a.拉紧的绳子或弦线中横波的波速为：Tutb.均匀细棒中，纵波的波速为：(2)通常波速（亦即相速度）主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。说明T—张力—线密度几种情况下的波速l0l0+lFF长变YulllYSFY:杨氏模量c.固体媒质中传播的横波速率由下式给出：F切变GutSxhhxGSFG:切变弹性模量同一种材料：GY,固体中u横波u纵波d.液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出Bul容变ppppV0+VVVBpB:流体的容变弹性模量e.稀薄大气中的纵波波速为pMRTul气体分子热运动平均速率?波面为平面的简谐波§13.2平面简谐波简谐波波所到之处，介质中各质点匀作同频率的谐振动。本节主要讨论在无吸收（不吸收波的能量）各向同性、均匀无限大媒质中传播的平面简谐波。平面简谐波平面简谐波说明简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。一.平面简谐波的波函数),(txfy)cos(0tAyo平面波函数yxxuPO简谐振动确定P点t时刻的振动状态：O点uxt简谐振动)cos(tAy平面简谐波的波函数时刻的状态：])(cos[),(0uxtAtxyP若])(cos[),(0uxtAtxyP为任意点(波函数)波函数--),,,(tzyx(P点相位较O点落后)uxxx2π2])(cos[),(0uxtAtxy])(π2cos[),(0xutAtxy])(π2cos[),(0xtAtxy])(π2cos[),(0xTtAtxy波函数的其它形式(3)若波沿轴负向传播时，同样可得到波函数:yxxuPO)cos(0tAyo若])(cos[),(0uxtAtxy(P点相位较O点超前)uxxxπ2π2])(π2cos[),(0xutAtxy])(π2cos[),(0xtAtxy])(π2cos[),(0xTtAtxy其它形式如图，在下列情况下试求波函数：)]81(π4cos[tAyA(3)若u沿x轴负向，以上两种情况又如何？例(1)以A为原点；(2)以B为原点；BA1xx已知A点的振动方程为：u(1)在x轴上任取一点P，该点振动方程为：)]81(π4cos[uxtAyp)]81(π4cos[),(uxtAtxy波函数为：解P1xBAxu(2)以B为原点；uP1xBAxB点振动方程为：)]81(π4cos[)(1uxtAtyB波函数为:)]81(π4cos[),(1uxuxtAtxy)]81(π4cos[tAyA)]81(π4cos[1uxxtA)]81(π4cos[),(1uxxtAtxy)]81(π4cos[),(uxtAtxy(3)以A为原点：以B为原点：已知A点的振动：uP1xOAx波函数为:)cos(0tAyA])(cos[),(01uxxtAtxy])(cos[),(01uxxtAtxy（波传播方向？)二.波函数的物理意义])(π2cos[),(0xTtAtxy(2)波形传播的时间周期性(1)振动状态的空间周期性),(),(txytxy（表明波具有空间周期性）),,(),(txyTtxy（表明波具有时间周期性）t1时刻的波形Oyxuxx1(4)t给定，y=y(x)表示t时刻的波形图(5)x和t都在变化，表明各质点在不同时刻的位移分布。(3)x给定，y=y(t)是x处振动方程t1+Δt时刻的波形x1)(cos),(1111uxtAtxy)(cos),(2222uxtAtxytuxx12)(cos11utuxttA),(cos11xtAuxxt12一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为m)10.050(πcos04.0xty)210.0250(π2cos04.0xtym04.0As04.0502Tm2010.02m/s500Tu])(π2cos[),(0xTtAtxy标准形式波函数为比较可得例解(1)波的振幅、波长、周期及波速；(2)质点振动的最大速度。求(1)与标准形式比较)10.050(πsinπ5004.0xttyvm/smax28.65004.0v(2)u三.平面波的波动微分方程)])(cos[),(0uxtAtxy])(cos[0222uxtAty])(cos[02222uxtuAxy222221tyuxy由知(2)不仅适用于机械波，也适用于电磁波、对于热传导、扩散过程也存在这样的方程；(1)上式是一切平面波所满足的微分方程（且正、反传播）；(3)若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程为2222222221tuzyx说明§13.3波的能量u波动过程质元由静止开始振动质元也发生形变波动过程是能量的传播过程一.波的能量和能量密度xm)(xlTWpOxy22)(2121tymmWkv线元的动能为线元的势能（平衡位置为势能零点）为（以绳索上传播的横波(简谐波)为例）设波沿x方向传播，取线元T2T1△l△y△xu])(cos[0uxtAy])([sin210222uxtxA])([sin210222uxtxA2)(21tyxWk2)(21xyxTWp])(cos[0uxtAy由得2uT22)()(yxl其中线元的机械能为和pk2)(21xyxT2/12])(1[xyx])(211[])(1[22/12xyxxyxOxyT2T1△l△y△xu)(xlTWp])([sin0222uxtxA(1)在波的传播过程中，媒质中任一质元的动能和势能是同步变化的，即Wk=Wp，与简谐弹簧振子的振动能量变化规律是不同的.讨论xyuOAB机械能也最小最小xy,v也最大最大xy,v(2)质元机械能随时空周期性变化，表明质元在波传播过程中不断吸收和放出能量；因此，波动过程是能量的传播过程])([sin0222uxtxA能量密度TtwTw0d1设绳子的横截面为S，体密度为),(])([sin0222txwuxtAxSWw，则线元单位体积中的机械能（能量密度）为平均能量密度21d)](2cos1[211d)([sin12TttTtttuxtTtuxtT2221A说明：...1.能流在一个周期中的平均能流为usu△tttSwuPwuSuSwtPTPT01d2.能流密度通过垂直于波线截面单位面积上的能流。wuSPJdd大小：方向：波的传播方向uwJ矢量表示式：在单位时间内通过某一截面的波动能量为通过该面的能流JuSu二.能流密度波的强度一个周期内能流密度大小的平均值。wutwTutJTJITT001dduA22212A三.平面波和球面波的振幅1.平面波1S2Su（不吸收能量）21PP21AA由得uSAuSwSIP221111121uSAuSwSIP222222221这表明平面波在媒质不吸收的情况下,振幅不变。2.球面波222212212121uSAuSA由1S2S1r2r22222121π4π4rArA2211rArA0],)(cos[),(0000rurrtrrAtry令得球面波的振幅在媒质不吸收的情况下,随r增大而减小.若则球面简谐波的波函数为00rAAr（A0为离原点（波源）r0距离处波的振幅）)cos(),(000tAtry1A2A讨论：柱面波振幅的情况...四.波的吸收0IxIxOdx吸收媒质,实验表明IdIxdxeII0为介质吸收系数，与介质的性质、温度及波的频率有关。xIxI0I0xOIxIIxII0dd0应用：增加吸收减少吸收(1)知某一时刻波前，可用几何方法决定下一时刻波前；说明R1R2S1S2O1S2Sttttur§13.4惠更斯原理惠更斯原理：(1)行进中的波面上任意一点都可看作是新的子波源；(3)各个子波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。(2)所有子波源各自向外发出许多子波；(2)亦适用于电磁波，非均匀和各向异性媒质；(4)不足之处（未涉及振幅，相位等的分布规律）。(3)解释衍射、反射、折射现象；2121sinsinuututuiBCiA由几何关系知：DEFu1u2u2△t(反射)···asin2ACtuiACtusin121n§13.5波的干涉一.叠加原理1.波传播的独立性2.叠加原理当几列波在传播过程中在某一区域相遇后再行分开，各波的传播情况与未相遇一样，仍保持它们各自的频率、波长、振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进。在波相遇区域内，任一质点的振动，为各波单独存在时所引起的振动的合