第3章 测量误差及数据处理

电子测量原理第1页3.1测量误差的分类和测量结果的表征3.1.1测量误差的分类根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统误差、粗大误差三类。1.随机误差定义:在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的无规律变化等。电子测量原理第2页3.1.1测量误差的分类（续）例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体却服从统计规律。可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值1211nniixxxxxnn随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差iixx()n电子测量原理第3页3.1.1测量误差的分类（续）2.系统误差定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系差越小，测量就越准确。系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。即0xA电子测量原理第4页3.1.1测量误差的分类（续）3.粗大误差：粗大误差是一种显然与实际值不符的误差。产生粗差的原因有：①测量操作疏忽和失误如测错、读错、记错以及实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。②测量方法不当或错误如用普通万用表电压档直接测高内阻电源的开路电压。③测量环境条件的突然变化如电源电压突然增高或降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时，应剔除掉。电子测量原理第5页3.1.1测量误差的分类（续）4.系差和随差的表达式在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和。在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的。系差和随差之间在一定条件下是可以相互转化。iiiixAxxxAx电子测量原理第6页3.1.2测量结果的表征准确度表示系统误差的大小。系统误差越小，则准确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。精密度表示随机误差的影响。精密度越高，表示随机误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。精确度用来反映系统误差和随机误差的综合影响。精确度越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。射击误差示意图电子测量原理第7页3.1.2测量结果的表征（续）测量值||||xA是粗大误差4x电子测量原理第8页3.2测量误差的估计和处理3.2.1随机误差的统计特性及减少方法在测量中，随机误差是不可避免的。随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。电子测量原理第9页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）（1）随机变量的数字特征①数学期望:反映其平均特性。其定义如下：X为离散型随机变量：X为连续型随机变量：1iipixE(X)μdxxxpXE)()(1.随机误差的分布规律电子测量原理第10页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）②方差和标准偏差方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。设随机变量X的数学期望为E(X)，则X的方差定义为：D(X)=E(X－E(X))2标准偏差定义为：标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。)(XD电子测量原理第11页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？(2)测量误差的正态分布电子测量原理第12页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）正态分布的概率密度函数和统计特性随机误差的概率密度函数为：测量数据X的概率密度函数为：随机误差的数学期望和方差为：同样测量数据的数学期望E(X)＝，方差D(X)＝)2exp(21)(22p]2)(exp[21)(22xxp0)2exp(21)()(22ddpE222222)2exp(21)()0()(ddpED2电子测量原理第13页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）正态分布时概率密度曲线随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差。(a)随机误差(b)测量数据0)(pxp(x)0图3－1随机误差和测量数据的正态分布曲线随机误差具有：①对称性②单峰性③有界性④抵偿性电子测量原理第14页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）标准偏差意义标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。0)(p123电子测量原理第15页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）（3）测量误差的非正态分布常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差等；“四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不知其分布时，一般可假定均匀分布。abP(x)概率密度:均值:当时,标准偏差:当时，01)(abxpbxaxbxa,2baba32ab3bba0电子测量原理第16页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）2.有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？用事件发生的频度代替事件发生的概率，当则nnxpxXEimiimiii11)(令n个可相同的测试数据xi(i=1.2…,n)次数都计为1,当时，则niiniixnnxXE1111)(nn（1）有限次测量的数学期望的估计值——算术平均值被测量X的数学期望，就是当测量次数时，各次测量值的算术平均值n电子测量原理第17页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）规定使用算术平均值为数学期望的估计值，并作为最后的测量结果。即：算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值和最大似然估计值。niixnx11有限次测量值的算术平均值比测量值更接近真值？电子测量原理第18页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）（2）算术平均值的标准偏差故：算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小倍。原因是随机误差的抵偿性。*)]()()([1)(1)1()(222122122122nniiniixxxnxnxnx)(1)(1222XnXnnnXx)()(n电子测量原理第19页算术平均值：3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）（2）有限次测量数据的标准偏差的估计值残差：实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：算术平均值标准偏差的估计值：xxiiniiniixxnnxs1212)(1111)(nxsxs)()(niixnx11电子测量原理第20页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）【例3.1】用温度计重复测量某个不变的温度，得11个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。解：①平均值②用公式计算各测量值残差列于上表中③实验偏差④标准偏差)(1.530)531530532530529533531527529531528(11111Cxnxoniixxii)(767.111)(12Cnxsonii)(53.011767.1)()(Cnxsxsox电子测量原理第21页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续3.测量结果的置信问题（1）置信概率与置信区间：置信区间内包含真值的概率称为置信概率。置信限：k——置信系数（或置信因子）kkxEx)(置信概率是图中阴影部分面积电子测量原理第22页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）（2）正态分布的置信概率当分布和k值确定之后，则置信概率可定正态分布,当k=3时置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997kkdpkPkxExP)(][])([997.0)2exp(21)()3(223333ddpP区间越宽，置信概率越大电子测量原理第23页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）（3）t分布的置信限t分布与测量次数有关。当n20以后，t分布趋于正态分布。正态分布是t分布的极限分布。当n很小时，t分布的中心值比较小，分散度较大，即对于相同的概率，t分布比正态分布有更大的置信区间。给定置信概率和测量次数n，查表得置信因子kt。自由度：v=n-1电子测量原理第24页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）电子测量原理第25页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）（4）非正态分布的置信因子由于常见的非正态分布都是有限的，设其置信限为误差极限，即误差的置信区间为置信概率为100％。k（P=1)反正弦均匀三角分布236kka例：均匀分布有故:3a3akka3k-aaP(x)x0电子测量原理第26页3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）电子测量原理第27页3.2.2系统误差的判断及消除方法（续）1.系统误差的特征：ca0t图3－7多种系统误差的特征其中：a----不变系差b-----线性变化系差c-----周期性系差d-----复杂规律变化系差db在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。多次测量求平均不能减少系差。电子测量原理第28页3.2.2系统误差的判断及消除方法（续）2.系统误差的发现方法（1）不变的系统误差：校准、修正和实验比对。（2）变化的系统误差①残差观察法，适用于系统误差比随机误差大的情况将所测数据及其残差按先后次序列表或作图，观察各数据的残差值的大小和符号的变化。ii0ii0存在线性变化的系统误差无明显系统误差电子测量原理第29页3.2.2系统误差的判断及消除方法（续）②马利科夫判据：若有累进性系统误差，D值应明显异于零。当n为偶数时，当n为奇数时，③阿贝－赫梅特判据：检验周期性系差的存在。21111snniii2/112/ninniiiD2/)1(12/)1(ninniiiD电子测量原理第30页3.2.2系统误差的判断及消除方