中国矿业大学周圣武概率论与数理统计1第一章 随机事件及其概率

周圣武概率论与数理统计[e-mail]如何学习概率统计?1.认识其重要性,培养浓厚的学习兴趣2.学数学最好的方式是做数学读、听、作、问3.学习要求:预习听课(记笔记)复习、巩固聪明在于勤奋，天才在于积累一份耕耘一份收获通过概率统计的学习和思维训练，可以获得两方面的收益：2.提高大家面对生活中一些复杂问题的决策能力1.后续课程的必备知识财经类专业：计量经济学，审计学，保险学、投资学、决策论、经济预测与决策机械工程类专业：质量检查、可靠性分析、事故分析1.浙江大学《概率统计》及其配套参考资料4.概率统计及数理统计（内容、方法和技巧）,华中科技大学出版社参考书3.概率统计及数理统计,中山大学2.概率统计及数理统计,陈希孺5.概率统计与数理统计学习方法指导，周圣武，周长新，李金玉，煤炭工业出版社感受有些事情我们事先能断定它一定会发生或者一定不会发生从箱子中任意摸出一球，一定能摸到黄球吗？说说你的想法？有些事件我们事先无法肯定它会不会发生你能举出生活中的这种现象吗?讨论、交流在一定条件下，并不总是出现相同结果，但又有一定统计规律的现象称为随机现象。自然界中的现象分为两大类：将来可以预知，条件一定、结果一定将来不可以预知，条件一定、结果不定◆确定现象：◆不确定现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.木柴燃烧,产生热量明天，地球还会转动在00C以上，雪会融化实心铁块丢入水中,铁块浮起转盘转动后，指针指向黄色区域在一定条件下，某种现象可能发生也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.这两人各买1张彩票，她们中奖了在我们所生活的世界上，充满了不确定性从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化……，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.问题：随机现象有没有规律可言?在一次观测中无规律可言;进行大量观测会发现某种规律性,这种规律叫做统计规律.例如:抛一枚硬币,每抛一次,无规律可言,抛掷大量的次数,会发现正面朝上约为50%;——随机现象的统计规律性.例如:一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等.再如:测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环境的影响，每次测量的结果可能是有差异的.但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大多落在此常数的附近，越远则越少，因而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右基本对称”.随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中,随机现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学分支.这样一门被称为“人类知识的最重要的一部分”的数学却直接地起源于人类贪婪的产物—赌博，文明一点的说法，就是机会性游戏，即靠运气取胜的游戏。概率论：起源于16-17世纪赌博。尽管有卡尔达诺、伽利略等先驱者的一些非常重要的工作，而概率论历史学家大多赞同这样一个观点：概率科学产生的标志之一，帕斯卡和费马正确解决了“点问题”。19世纪法国著名数学家拉普拉斯说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题”。帕斯卡德.梅勒约定先赢5局，获全部赌金A：4B：3分赌金写信费马假设再赌一局A赢获全赌金：1A输获赌金：1/2A最后获赌金：1/2×1+1/2×1/2=3/4B最后获赌金：1/2×0+1/2×1/2=1/4期望（提前分钱）朋友？？于是，一个新的数学分支——概率论产生了。概率论从赌博的游戏开始，最终服务于社会的每一个角落。18、19世纪随着科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，这是从概率诞生时起人们就关注的问题，这些年来，好多数学家进行过尝试，终因条件不成熟，一直拖了三百年才得以解决。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中首次给出了概率的测度论式定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。安德列·柯尔莫哥洛夫（1903年4月25日－1987年10月20日），20世纪苏联最杰出的数学家，也是20世纪世界上为数极少的几个最有影响的数学家之一。他的研究几乎遍及数学的所有领域，做出许多开创性的贡献。柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫热爱生活，兴趣广泛，喜欢旅行、滑雪、诗歌、美术和建筑。他十分谦虚，从不夸耀自己的成就和荣誉。他淡泊名利，不看重金钱，他把奖金捐给学校图书馆，并且不去领取高达10万美元的沃尔夫奖。他是一位具有高尚道德品质和崇高的无私奉献精神的科学巨人。他是美国、法国、民主德国、荷兰、波兰、芬兰等20多个科学院的外国院士，英国皇家学会外国会员，他是法国巴黎大学，波兰华沙大学等多所大学的名誉博士。1963年获国际巴尔桑奖，1975年获匈牙利奖章，1976年获美国气象学会奖章、民主德国赫姆霍兹奖章，1980年获世界最著名的沃尔夫奖。1941年获国家奖，1951年获苏联科学院车贝雪夫奖，1963年获苏维埃英雄称号，1965年获列宁奖，1940年获劳动红旗勋章，1944—1979年获7枚列宁勋章、金星奖章及“在伟大的爱国战争中英勇劳动”奖章，1983年获十月革命勋章，1986年获苏联科学院罗巴切夫斯基奖。第一章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律与中心极限定理第六章样本与抽样分布第七章参数估计第八章假设检验(16学时)数理统计(32学时)概率论内容与学时§1.1随机事件及其运算§1.2频率与概率§1.3等可能概型§1.4条件概率§1.5事件的相互独立性第一章随机事件及其概率二、样本空间一、随机试验第一节随机事件及其运算三、随机事件四、事件间的关系及其运算一、随机试验（Experimentation）随机试验应该广义理解，是对随机现象的一次观察、（简称试验记作E）。也可以是一次测量、一次统计等等几个具体试验E1:抛一枚硬币，观察出现正反面情况。E5:记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。E6:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。E4:抛一枚骰子，观察出现的点数上述随机试验具有以下几个特点：（可重复性）(1)可以在相同情况下重复进行。(2)每次试验可能出现的试验结果具有多种可能性，(3)每次试验前不能确定会出现哪种结果。但能事先知道试验的所有可能结果。(结果具有随机性）具有上述三个特点的试验称为随机试验。(结果具有多样性）我们就是通过研究随机试验来研究随机现象的。定义1将随机试验E的所有可能结果组成的集合，称为E的样本空间，记作Ω。二、样本空间(Space)样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。认识一个随机现象首先从认识它的所有可能发生的结果开始。E1:抛一枚硬币，观察出现正反面情况。E2:将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。E3:抛一枚硬币三次，观察出现正面次数。30,1,2,3E5:记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。E6:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。E4:抛一枚骰子，观察出现的点数E1:抛一枚硬币，观察出现正反面情况。E2:将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。E3:抛一枚硬币三次，观察出现正面次数。30,1,2,3样本空间的元素是由试验目的决定的。定义2一般我们称试验E的样本空间Ω的子集称为随机事件（简称事件）。用A,B,C,D等表示。三、随机事件定义比如：掷骰子试验、点数是偶数、奇数、大于3等都是事件事件的表示方法：语言定性描述或者用集合的符号比如：掷骰子试验中，掷出点数是偶数可表示为：A=｛2，4，6｝＝“点数为偶数”样本空间是客观的事件是人为设定的事件B1={t|t2000}=“灯泡是次品”事件B2={t|t2000}=“灯泡是合格品”灯泡的寿命试验，寿命大于等于2000小时为合格在试验中,若事件A中的一个样本点出现了,则称事件A发生。1.事件的发生例：在掷骰子试验中，Ω＝｛1,2,3,4,5,6｝A＝｛1，2，3｝B＝｛2，4，6｝C＝｛4，5，6｝如果掷出的数字是4，则B,C发生①基本事件:E中只含有一个样本点的事件，称为E的基本事件。2.随机事件中几种具有特殊意义的事件11A22A为六个基本事件。例如：在掷骰子试验中66A②必然事件③不可能事件在每次试验中一定不发生的事件，称为不可能事件，记为φ，即为空集φ，其中不包含任何样本点。在每次试验中总是发生的事件，称为必然事件。例如：掷一枚骰子1次，则{点数≥1}为必然事件{点数6}为不可能事件。由于样本空间Ω包含所有的样本点，每次试验中它总是发生的，因此样本空间Ω是必然事件。四、事件间的关系及事件的运算事件是一个集合，因而事件间的关系和运算,自然按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。下面给出这些关系和运算，及在概率论中的提法，从“事件发生”的角度来理解他们在概率论中的含义。（1）事件的包含与相等记为BAAxBx若事件A发生必导致事件定义：B发生，则称B包含A。（A的每一个样本点都是B的样本点）或.AB即定义：若BA且.AB则称A与B相等记为A=B.1、事件的关系SBA袋子中有10个球，编号1到10，如在袋子中摸球}2{取到的球号A}4{取到的球号B}{取到的球号是偶数C}1{取到的球号D,,ABACDAD（2）事件的和（和运算）定义事件例如dcbaA,,,fedcB,,,fedcbaBA,,,,,称为A与B的和事件当且仅当A、B中至少有一个发生时事件发生ABAxBx或BASABBA12,nAAA1niiA12,AA1iiA——可列并——有限并简记为简记为n个事件12,,,nAAA的和事件，记为可列个事件12,,AA的和事件，记为例如A1={开关K1合上}A2={开关K2合上}A3={开关K3合上}B={灯亮}123BAAA三个开关至少有一个合上。1K2K3KB（3）事件的积（积运算）BA当且仅当事件A与事件B同时发生时或.AB定义记为例电路图:B表示灯亮21AAB1K2KBA1={开关K1合上}A2={开关K2合上}称为事件A与B的积。BA发生AxBx且BASABAB——可列交。——有限交。12,nAAA1niiA简记为1iiA简记为n个事件12,,,nAAA的积事件，记为12,AA可列个事件12,,AA的积事件，记为例如：设以nAAA,,,21表示毕业班某一位学生的各门课程的学习成绩为合格。以B表示学生可以拿到毕业证书。则nAAAB21(表示门门课程都合格了)。（4）事件的差（差事件）当且仅当“事件A发生且事件B不发生定义例如dcbaA,,,fedcB,,,baBA,称为事件A与B的差事件。时，事件A－B发生”AxBx且事件{}A-B=SBABA（5）互不相容事件表示：事件A与事件B不能同时发生定义若BA则称A与B相容注：基本事件是两两互不相容的(互斥)。如：产品检验是一等品、二等品、次品是互不相容的。否则，称为不相容SAB（6）对立事件则称A与B为对立事件(互逆)AB且BA即：事件A、B必有且仅有一个发生。定义事件A、B满足记为BAAB可见：若E只有两个互不相容的结果，那么这两个结果构成对立事件。SBAnAAA,,,21表示毕业班某一位学生的以C表示学生拿不到毕业证书。则nAAAB21(表示门门课程都合格了)。例如：设以12nCAAA表示至少有一门课程不及格。以B表示该学生可以拿到毕业证书。各科的学习为成绩合