中国矿业大学周圣武概率论与数理统计4第四章 随机变量的数字特征-2

周圣武概率论与数理统计Tel:13852138385E-mail:[e-mail]中国矿业大学理学院第三章§4.2方差2.方差的性质1.方差的定义3.几种重要分布的方差上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？a乙仪器测量结果a甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差通常用})]({[2XEXE来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.[()]EXEX合理,但是存在正负相消，不可行.带绝对值的运算，不利于分析.[|()|]EXEX方差的算术平方根()()DXX为X的方差。定义设X是一个随机变量，若存在，则称2(){[()]}DXEXEX称为均方差或标准差。1.方差的概念2{[()]}EXEX注意：2()()DXEXEX⒈是关于随机变量X的函数的数学期望。2()()gXXEX221()()()iiiDXEXEXxEXp离散型已知X分布律连续型已知X的概率密度2()[()]()DXxEXfxdx{}kkPXxp()fx命题计算方差的简便公式⒉方差描述了X的取值与E(X)的偏离程度。证明22()()[()]DXEXEX2()()DXEXEX22[2()()]EXEXXEXEXEXEXEX222EXEX22解比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为例1X8910P0.30.20.5甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：试问那个人的射击水平较高？X：甲击中的环数Y：乙击中的环数Y8910P0.20.40.4...EX8039021005＝9.2(环)乙的平均环数为...EY8029041004＝9.2(环)从平均环数上看，甲、乙射击水平是一样的。但两人射击环数的方差分别为：这表明乙的射击水平比甲稳定。......DX2228920399202109205.076......DY2228920299204109204.0624DYDX由于，0)1()1()(1001dxxxdxxxXE61)1()1()(1020122dxxxdxxxXE61)(XD设随机变量X的概率密度为1,10,()1,01,0,.xxfxxxothers求D（X）。例2解()DXEXEX221.设C是常数,则D(C)=0;2.若C是常数,则D(CX)=C2D(X);2.方差的性质3.若X与Y独立，则()()DXYDXDY2()()DaXbaDX22()()()DaXbYaDXbDY⒋若X与Y独立，且a,b是常数，则⒌2()0{0}1EXPX⒍()0{}1DXPXC其中().CEX11(),nniiiiDXDX一般情况：若X1,X2,…,Xn相互独立,则211()nniiiiiiDCXCDX分布期望方差~,XUab12ab2112ba~1,Xbpp1pp~,Xbnpnp1npp~X~XE1/21/2~,XN23．常见分布的期望与方差例3设X,Y是两个相互独立的且服从正态分布的~(3,1),~(2,1)XNYN随机变量,且，则求随机变量27ZXY服从什么分布？解Z为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正态分布，且其参数为~(0,5)ZN()()2()70EZEXEY2()()4()5DZDXDY故例4设X,Y是两个相互独立的且均服从正态分布(0,1/2)N的随机变量,则求随机变量||XY的数学期望(||).EXY解记ZXY则~(0,1)ZN(||)(||)EXYEZ221||2zzedz22022zzedz22()()()0EXYEXEY()()()1DXYDXDY故例5设X的可能取值为1231,0,1,xxx且()0.1,()0.89EXDX，求X的分布律。解设X的分布律为2213()()()0.90.9EXDXEXpp13()0.10.1EXpp1230.4,0.1,0.5ppp1231ppp所以已知1cos,0,~()220,.xxXfxothers例6求的次数，对X独立观察4次，Y表示X的观察值大于2().EY/2解由题意可知~(4,)Ybp/212{}cos12222xpPXdx22142222()()()(1)()EYDYEYnppnp例7设~[2,2]U，且1,1,1,1.UXU⑴求X和Y的联合分布律;1,1,1,1.UYU⑵求X+Y的方差。{1,1}{1,1}PXYPUU解⑴X,Y的取值都为-1和1，则121/41/4du{1,1}{1,1}0PXYPUU{1,1}{1,1}PXYPUU111/41/2duXY11111/401/41/2{1,1}{1,1}PXYPUU211/41/4du⑵X+Y的分布律为()1/21/20EXY2[()]41/202EXY22()[()]()2DXYEXYEXY练习题1.设X1,X2,…,Xn相互独立，且都服从参数为λ的指数分布，令求E(Y),E(Z),D(Y),D(Z)。12max,,,nYnXXX12min,,,nZnXXX2.P106：1，2，33.设股票的价格St在适当的概率空间中的概率分布为212rTtTtXTtSSe,01XN~,其中常数r0,σ0。以该股票为标的资产，执行价格为K的欧式看涨期权在当前时刻t的价值为0rTttTCeESKmax,求Ct。4.设随机变量X服从几何分布，概率分布为P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…，求E(X),D(X)。0p1,211,ppp密度为：服从瑞利分布，其概率设随机变量X5.000)(2222xxexxfx).(),(0XDXE是常数，求其中24,22附例在[0,1]中随机地取两个数X,Y,求D(min{X,Y})解其它,010,10,1),(yxyxf1101010},min{yxdxdyyx.3/1111100xydxxdydyydxmin{,}EXY111122200min{,}xyEXYdxxdydyydx.6/1min{,}DXY.18/122min{,}min{,}EXYEXY小结这一讲，我们介绍了随机变量的方差.它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征.下一讲，我们将介绍刻划两r.v间线性相关程度的一个重要的数字特征：协方差、相关系数问题对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系.2)]([)(YXEYXEYXD)])([(2)()(22EYYEXXEEYYEEXXE()()DXDY若X,Y相互独立，这项为零若这项不为零，则不相互独立，那么X与Y之间存在什么关系？2[()()]EXEXYEY作业P119：8，16，18