教学要求和目的：本教学单元试图通过饮料罐(易拉罐)用材料最省

最优化–导数的应用(极值问题)教学单元北京理工大学叶其孝教学要求和目的：本教学单元试图通过饮料罐(易拉罐)用材料最省的数学建模的全过程使同学们了解：一、了解数学建模和我们的生活密切相关，就在我们身边；二、了解数学建模的主要步骤和难点，懂得好的数学建模只依靠数学知识是不够的，必须和实际工作者的经验紧密结合；三、了解数学的极端重要性，为了真正做好数学建模必须学好数学，学习更多的数学；四、了解数学软件的重要性以及明白坚实的数学理论基础是运用好数学软件的基础。五、通过精心设计的习题，编写的阅读材料，提供的参考资料，不仅能引起学生的兴趣，吸引学生有亲自动手做某些实际问题的数学建模的全过程的冲动，刺激学生学习更多的数学思想和方法的积极性。计划用学时：估计用1-2学时讲课，2-4学时做习题和阅读所附的阅读和参考材料。教学组织：在讲述最优化(导数的应用–极值问题)的前一堂课结束前5~10分钟，先提出问题：可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少?为什么?它们的形状为什么是这样的?也可以要求同学在下一堂课前做(或预习)传统的微积分教材中的一道例题，例如“面向二十一世纪课程教材”中由王绵森、马知恩主编的《工科数学分析基础》(上册)，高等教育出版社，1998，pp.154-155的例6.7“用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器，问应当如何设计，才能使用料最省，这时圆柱的直径和高之比为多少?”(我们略有修改)或者《托马斯微积分第10版》，高等教育出版社，2003，例2(pp.291-293)，《微积分》(JamesStewart著),p.345,例2.还可以要求同学们在下一堂课之前自己找一个可口可乐饮料罐具体测量一下它顶盖的直径和从顶盖到底部的高(约为6厘米和12厘米)，胖的部分的直径约为6.6厘米，胖的部分高约为10.2厘米。怎样测量比较简捷？(用一条窄的薄纸条，绕饮料罐相关部分一圈测得周长，再换算得半径和直径)。可口可乐饮料罐上标明净含量为355毫升(即355立方厘米)。下一堂课上课时，教师带一个用过的可口可乐饮料罐，给坐在前面的同学测量一下，告诉同学们有关的数据，要求同学和教师一起通过数学建模的方法来回答相关的问题。简化模型分析和假设：首先把饮料罐近似看成一个正圆柱似乎是合理的(如右图所示)。my=8AbsoluteThickness@1D,Line@882.3,0.4,82.3,0,82.7,0,82.7,0.8,83.3,0.8,83.3,11,83,12,84.1,12,810.2,12,810.2,0,84.1,0,84.1,12,83,12,83,12.4,83,12,8-3,12,8-3,12.4,8-3,12,8-3.3,11,8-3.3,0.8,8-2.7,0.8,8-2.7,0,8-2.3,0,8-2.3,0.4Dmygrapg=Show@Graphics@myD,AxesLabel®8x,y,AspectRatio®Automatic,PlotRange®80,12.4DPlot@-10+Sqrt@113.45-x^2D,8x,-2.3,2.3,AxesLabel®8x,y,AspectRatio®Automatic,PlotRange®80,0.5D要求饮料罐内体积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比。用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬(厚，因为要使劲拉)，假设除易拉罐的顶盖外，罐的厚度相同，记作b,顶盖的厚度为ab.想象一下，硬度体现在同样材料的厚度上(有人测量过，顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍)。因此，我们可以进行如下的数学建模。明确变量和参数：设饮料罐的半径为r（因此，直径为d=2r）,罐的高为h.罐内体积为V.b为除顶盖外的材料的厚度。其中r,h是自变量，所用材料的体积S是因变量，而b和V是固定参数,　　是待定参数。S和V分别为，22222(,)[2][(1)2],/.SrhrhrrbbrrhVrhhVrππαππαππ=++=++==注意，饮料罐侧面的体积应为，22()2hrbhrrbhhbπππ+−=+2π因为，所以可以忽略。br2hbπ记2(,)grhrhVπ=−.于是我们可以建立以下的数学模型：0,0min(,)..(,)0rhSrhstgrh=其中S是目标函数，(,)0grh=是约束条件，V是已知的(即罐内体积一定)，即要在体积一定的条件下求表面积最小的r,h和　　使得r,h和测量结果吻合。这是一个求条件极值的问题。模型的求解：一种解法(从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题)从解出2(,)0grhrhVπ=−=2/hVrπ=，代入S，使原问题化为：求d:h使S最小，即，求r使22(,())[(1)]VSrhrbrrπα=++最小。求临界点:令其导数为零得32222[(1)]((1))0.dSVbbrrVdrrrαπαπ=+−=+−=解得临界点为3(1)Vrαπ=+，因此2332(1)(1)()2(1)()(1)(1)2VVhrVαπαααπαπ++==+=+=+.r测量数据为h/r=2,即41,=3αα=+，即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍。为验证这个r确实使S达到极小。计算S〞324[2(1)]0,0.VSbrrπα′′=++Q因此，这个r确实使S达到局部极小，因为临界点只有一个，因此也是全局极小。初等解法：求22()[(1)]VSrbrrπα=++的极小的初等方法是应用算术几何平均值不等式(当n=2,3时有明显的几何意义,即周长相等的矩形中正方形的面积最大，三边长相等的长方体中正方体的体积最大。)111,0,1,...,nnniiiiiaaain==≥=∑∏n，当且仅当12...naaa===时等号成立.令21233,,(1)Vnaaarπα====+r，于是有22322[(1)]6(1)Vbrbrπααπ++≥+V，当且仅当2(1)Vrrπα=+时等号成立，即3(1)Vrπα=+，结果相同。模型另一种解法–Lagrange乘子法(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题)当然，这个问题在讲一元函数求极值问题时没有办法讲，但是可以作为以后讲多元函数极值问题的伏笔。在课堂上可以启发性地讲一点。在上述解法中，从2(,)0grhrhVπ=−=解出h是关键的一步，但是常常不能从约束条件中解出一个变量为另一个变量的函数(或者虽然能解出来，但很复杂)，无助于问题的求解。但是，如果(,)0grh=(,)0grh=表示变量间的一种隐函数关系，并假设从中能确定隐函数()hhr=(尽管没有解析表达式，或表达式很复杂)，那么，我们仍然可以写成，而且，由隐函数求导法则，我们有(,())Srhr0ggdhrhdr∂∂+=∂∂因此，是S的临界点的必要条件为00(,)rh0,SgdSSSdhShrgdrrhdrrhgdhrgdrh∂∂∂∂∂∂∂=+=−=∂∂∂∂∂∂∂=−∂∂Q假设是S的临界点，则有00(,)rh0000(,)(,)SSrhrhrhggrhλ∂∂∂∂==∂∂∂∂于是，在处，00(,)rh()()SgSgrrrSgSghhhλλλλ∂∂∂−=−=∂∂∂∂∂∂−=−=∂∂∂00因此，如果我们引入(,,)(,)(,)LrhSrhgrhλλ=−，那么，就有000LSgrrrLSghhhLgλλλ∂∂∂⎧=−=⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪=−=⎨∂∂∂⎪∂⎪==⎪∂⎩把问题化为求三元函数L的无条件极值的问题。函数L称为Lagrange函数，这种方法成为Lagrange乘子法。具体到我们这个问题，有如下的结果。引入参数0λ≠，令22(,,)[2(1)][]LrhbrhrrhVλπαλπ=++−−求临界点22[2(1)2]202(2()0LbrhrhrLbrrrbrhLrhVπαπλπλππλπλ∂⎧=++−=⎪∂⎪∂⎪=−=−=⎨∂⎪∂⎪=−−=⎪∂⎩)0从第2，3式解得22,Vbhrrλπ==，代入第1式得33223332232(1)0,(1)(1)(1)3(1(1)VVbrrrVVhVVπαπαπαπα)Vπαππαπ+−==++===++⎛⎞⎜⎟+⎝⎠.和前面的结果相同。同学们可能会觉得这个方法不如前一个方法简单，但是当你们做习题6时你们就会体会到Lagrange乘子法的优点，以及进一步体会到使用数学软件的重要性和必要性。验证和进一步的分析：有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的3倍。体积为，即装不下那么多饮料，为什么？2612339.3355Vπ=×≈实际上，饮料罐的形状是上图左边平面图形绕其中轴线旋转而成的立体。粗略的计算，可以把饮料罐的体积看成两部分，一是上底半径为3厘米，下底半径为3.3厘米，高为1厘米的锥台，二是半径为3.3厘米，高为10.2厘米的圆柱体。它们的体积分别为，31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米。然后我们再来通过测量重量或容积(怎么测量?)来验证。我们可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克。测量结果为：未打开罐时饮料罐的重量为370克，倒出来的可乐重355克，空的饮料罐重量为15克，装满水的饮料罐重量为380克。这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料，而是留有10立方厘米的空间余量。更有意思的是，计算饮料罐的胖的部分的直径和高的比为6.6/10.2=0.647，非常接近黄金分割比0.618.这是巧合吗？还是这样的比例看起来最舒服，最美？此外，诸如底部的形状，上拱的底面，顶盖实际上也不是平面的，略有上拱，顶盖实际上是半径为3+0.4+0.2=3.6平方厘米的材料冲压而成的，从顶盖到胖的部分的斜率为0.3,这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐压。所有这些都是物理、力学或材料方面的要求，必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定。因此，我们可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计，只依靠数学知识是不够的，必须和实际工作者的经验紧密结合。一种细化模型(考虑实际所用材料)实际上，顶盖的半径为r+0.6厘米，而正圆柱的高为h+0.6厘米。因此222223(0.6)2(0.4)(44.41.082),SrbrbrhrrrhbVVrhhrπππππππππ=++++=+++==b问题化为：当V固定时，求d:h使S最小。我们从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题，即23232()44.41.08,2()42.20,4()40.VSrrrrSrrrVrVSrrππππππ=+++′⎡⎤=+−⎣⎦′′=+=还不如直接把数值代入，用数学软件(例数学软件的=365这时，我们发现尽管三次方程求根有公式，但是很繁琐，而且最终还是要数值求解。如，Mathematica)来求数值解(体会优点)。由于V立方厘米。Solve@4Pir^3+2.2Pir^2-365Š0,rD88r®-1.72555-2.65226ä,8r®-1.72555+2.65226ä,8r®2.9011即，r≈2.9，h=365/(　　×r×r)≈13.8,所以，h:d≈2.4,高是直径的2.4倍!还可以从其他角度来考虑各种各样罐的数学建模。可以参看：JamesStewart,《微积分(上册)》,白峰杉主译,高等教育出版社,2004年7月第1版,pp.353-354.《微积分(上册)》(面向21世纪课程教材)，同济大学应用数学系编，高等教育出版社,1999年9月第1版,pp.352-353.建议学生到市场(超市等)调查各种罐、杯的尺寸，回答它们的设计是否都用到了优化设计？实际上，这类问题是数学中著名的等周问题的推广或扩充的一些特例。学生可以阅读本教学单元所附的等周问题阅读材料，或其他参考资料。习题(任课教师可以自行配置习题)1．如果正圆柱形饮料罐上底的厚度为其它部分厚度的3倍，饮料罐的总面积固定，求能够使其体积最大的