结构力学-第七章-力矩分配法

3`1结构力学StructuralMechanics周强土木工程学院风工程试验研究中心E-mail：[e-mail]第七章力矩分配法§7-1引言§7-2力矩分配法的基本原理§7-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架§7-4力矩分配法与位移法联合应用力矩分配法可以避免解联立方程组，其计算精度可按要求来控制。在工程中曾经广泛应用。力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解的近似方法。从数学上说，是一种异步迭代法。单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结构。§7-1引言力矩分配法的理论基础是位移法，力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定，与位移法相同（顺时针旋转为正号）。转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与杆件的线刚度i=EI/l及远端的支承情况有关。一、力矩分配法中几个概念1.转动刚度（劲度系数）lABEIM=iABM=iBA421iSAB4转动刚度A端一般称为近端，B端一般称为远端。§7-2力矩分配法的基本原理lABEIM=BAM=iAB301iSAB3转动刚度iSAB转动刚度lABEIM=ABM=-iAB1ilABEIM=AB10转动刚度思考：BA0ABS?ABS§7-2力矩分配法的基本原理利用结点B的力矩平衡条件∑MB=0，得图示连续梁，力偶MB使结点B产生转角θB。BBBABAiSM4BBBCBCiSM3(a)取结点B为隔离体0BBABCMMMBBCBABCBABSSMMM)()(BBACMBMBMBCMBAB2．分配系数杆端弯矩为§7-2力矩分配法的基本原理∑S(B)为汇交于结点B的各杆件在B端的转动刚度之和。近端弯矩MBA、MBC为)(BBBCBABBSMSSM转角为:BBBABBBABAMSSSMSM)()(BBBCBBBCBCMSSSMSM)()(可见：各杆B端的弯矩与各杆B端的转动刚度成正比。§7-2力矩分配法的基本原理μBA、μBC分别称为各杆近端弯矩的分配系数。)(BBABASS)(BBCBCSS令,近端弯矩BBBABBBABAMSSSMSM)()(BBBCBBBCBCMSSSMSM)()(BBCBCBBABAMMMM——称为分配弯矩。可以写成一个结点上的各杆端分配系数总和恒等于1。§7-2力矩分配法的基本原理思考：汇交于同一结点的各杆杆端的分配系数之和∑μ(B)应等于多少？BAABBAABMCMM21BACBCBMCM0ABBAABMMC3．传递系数远端弯矩（传递弯矩）——称为由A端向B端的传递系数。上述计算过程可归纳为：结点B作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。BBACMB§7-2力矩分配法的基本原理远端固定时:远端铰支时:远端定向时:C=1/2C=0C=-1与远端支承情况有关ABi14i2iABi13iABi1i§7-2力矩分配法的基本原理例7-1结构的A端、B端，C端的支撑及各杆刚度如图所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、CBC、CBD。解:当结点B转动时，A支座只阻止A端发生线位移，相当于固定铰，故0,3BABAClEIS21,4BCBCClEISC支座既阻止C端的线位移，也可以阻止C端转动，其作用与固定端一样，因此(a)llAEIDlEIEIBC(b)ADBBCθEIEIEI(a)llAEIDlEIEIBC(b)ADBBCθEIEIEID支座不能阻止D点垂直BD轴的转动，所以0,0BDBDCS§7-2力矩分配法的基本原理例7-2图示梁的AC为刚性杆段，CB杆段EI=常数，求SAB及CABAB28C4B2SABS28108iiiiiiθ=1ACEI=∞lΔθlBil/l=iBCθil当666Aa)CEI=∞lθlBil/l=iBCi666当lθc)AB28=1C4B2SABS28108θiiiiii解:当A端转角θ=1时，截面C有竖向位移Δ=l·θ=l及转角θ=1。CB段的杆端弯矩为iMCB10iMBC8iMSABAB2872288ABC梁AB弯矩图是直线变化的，按直线比例可得CEI=∞il/l=iBCθil当666llAB§7-2力矩分配法的基本原理解:当A转角θ=1时，因为AC刚性转动，C点向下的位移Δ=l×θ=l，所以EI=∞llθlθ=13iCABBCASAB3i/l=3iACBilΔiSAB33133iiCAB例7-3图示梁的AC杆为刚性杆段，CB杆段EI=常数。求SAB,CAB。EI=∞llθlθ=1CAa)BBCASAB3iΔ/l=3iACB3i§7-2力矩分配法的基本原理解:当A端转动θ=1时，因AB杆是刚性转动，所以B产生向下的竖向位移Δ=l×θ=l，弹簧反力FyB=kΔ=EI/l2。则例7-4图示梁AB为刚性，B支座为弹性支承，其弹性刚度k=EI/l3,求SAB,CAB。ilEIlFSyBAB00iCABlk=3EI/lAB=kyBFABΔ=θlθ=1BASABEI/lFyB§7-2力矩分配法的基本原理4．不平衡力矩固定状态:ABm10EImkNq/12Cm10EIABmkNq/12CBuBM12/2qluBM---不平衡力矩，顺时针为正固端弯矩---荷载引起的单跨梁两端的杆端弯矩，绕杆端顺时针为正。2/12100FABMqlkNm100FBAMkNm0FFBCCBMM§7-2力矩分配法的基本原理ABCuBMB放松状态:需借助分配系数,传递系数等概念求解BuBMFBAMFBCMFBCFBAuBMMMmkN.100§7-2力矩分配法的基本原理6060ABmkN.40CmkN/20mkNMuB.100406060mkN.40uBMABm4EImkN.40Cm6EImkN/20例.求不平衡力矩§7-2力矩分配法的基本原理二、力矩分配法基本思想以图示具体例子加以说明AB1l2l1EI2EICMMAB1l2l111/lEIi222/lEIiC按位移法求解时211134iir11rC14i23i01111pRZr§7-2力矩分配法的基本原理)34/(211iiMZMRP1P1RCM)34/(4211iiiMMCA)34/(3212iiiMMCB114/2iiMMCAAC23/0iMMCBBC由此可得到什么结论呢？0FM如果外荷载不是结点力偶，情况又如何呢？§7-2力矩分配法的基本原理uFF1)(CCBCApMMMRM叠加得最终杆端弯矩为FCACACAMMMFCBCBCBMMMFACCACAACMCMMFBCCBCBBCMCMM近端远端固端弯矩分配弯矩CiM固端弯矩传递弯矩iCM§7-2力矩分配法的基本原理1、先固定结点，由固端弯矩获得结点不平衡力矩；力矩分配法思路：3、接着用传递系数求传递弯矩；2、然后用分配系数求杆端分配弯矩；4、最后计算杆端最终杆端弯矩。这种直接求杆端弯矩，区段叠加作M图的方法即为力矩分配法。§7-2力矩分配法的基本原理例.计算图示刚架,作弯矩图iSA41解:2/13441iiiiAAB1Clql2CEIqlliSB31iSC18/33431iiiiB8/1341iiiiC8/2qlql2q4/2ql4/2qlq确定分配系数确定固端弯矩§7-2力矩分配法的基本原理000FM分配传递M结点杆端BA1CB1A11A1B1CC11/23/81/8-1/41/41/8163649643323064303211161641643643AB1Clql2CEIqll6416433211161）图（2qlM§7-2力矩分配法的基本原理解（1）计算结点B处各杆端的分配系数由SBA=4i，SBC=3i有分配系数为ABC9kN/m80kN6m3m3m74344iiiSS)B(BABA73343iiiSS)B(BCBC一、力矩分配法计算单刚结点的连续梁例：用力矩分配法计算图示的连续梁的内力。§7-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架结点B的不平衡力矩为（2）计算固端弯矩（查表8-1）mkN2712691222qlMFABmkN2712691222qlMFBAmkN90166803163FlMFBC0FBCMmkN63FBCFBAuBMMM（3）进行弯矩分配与传递3m3m6m80kN9kN/mABC§7-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架分配系数4／73／7固端弯矩27-27-900分配与传递3627最后弯矩180注意：结点B应满足平衡条件。06363BM80kN9kN/mABC将以上结果叠加，即得最后的杆端弯矩。-963-630§7-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架根据各杆杆端的最后弯矩即可利用叠加法作出连续梁的弯矩图。思考：用力矩分配法计算的只有一个刚结点结构的结果是精确解吗？12088.596340.5图(kNm)M3m3m6m80kN9kN/mABCmkN9ABMmkN63BCMmkN63BAM§7-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架二、具有多个结点转角的多跨连续梁1.先将所有刚结点固定，计算各杆固端弯矩；2.轮流放松各刚结点，每次只放松一个结点，其他结点仍暂时固定，这样把各刚结点的不平衡力矩轮流进行分配与传递，直到传递弯矩小到可略去时为止。这种计算杆端弯矩的方法属于渐近法。只需依次对各结点使用上述方法便可求解。步骤:3.最后累加固端、分配和传递得结果。§7-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架6m6m12m25kN/m12m0123400kNEIEIEI21444)1(1010iiiSS21444)1(1212iiiSS74344)2(2121iiiSS73343)2(2323iiiSS例：用力矩分配法计算图示的三跨连续梁的内力。EI=常数解:(1)首先引用刚臂将两个刚结点1、2固定。(2)计算结点1、2处各杆端的分配系数。结点1的分配系数为结点2的分配系数为§7-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架mkN300121225122201qlMFmkN300121225122210qlMFmkN600812400812FlMFmkN600812400821FlMF03223FFMMmkN300600)(300F12F10u1MMM(3)计算固端弯矩(4)计算结点的不平衡力矩结点1的不平衡力矩为结点2的不平衡力矩为12m25kN/m400kNEIEIEI21036m12m6mmkN600MMF23F212uM(5)按轮流放松结点，进行弯矩分配与传递。§7-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架1/21/24/73/72310-600-300-193+300+60000+150+150-386-2890+75+96.5+96.5+48.2+75+48.2-27.5-20.7-13.8+6.9+6.9+3.4+3.4-1.5-1+0.5-1.9+0.5+0.2+0.2-0.1-0.1+553.9-553.9+311.3-311.3-173.20固端弯矩MF结点1分配传递结点2分配传递结点1分配传递结点2分配传递结点1分配传递结点2分配传递结点2分配传递结点1分配传递最后弯矩1/21/24/73/7固端弯矩MF-300+300-600+60000结点１分配传递结点１分配传递结点１分配传递结点１分配传递结点２分配传递结点２分配传递结点２分配传递结点２分配传递最后弯矩+150+150+75+75-3