直线和椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系xyO怎么判断它们之间的位置关系？问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？drdrd=r∆0∆0∆=0几何法：代数法：问题引入2194xxyx相离相切相交相切相离问题2：直线与椭圆的位置关系有哪几种？yＯ相交椭圆与直线的位置关系的判断判断方法这是求解直线与二次曲线有关问题的通法——判别式法判断∆0，∆=0，∆0例1.已知直线和椭圆（1）当直线和椭圆相交时，求实数的取值范围；2yxm2222xym解：联立方程组消去得整理得因为直线和椭圆相交，所以即解得22222xyyxmy22222()xxm2298220xmxm0226449220()mm33m典例精析一.直线和椭圆位置关系及弦长问题1、直线与圆相交的弦长(几何法）A（x1,y1）2、直线与椭圆相交的弦长B（x2,y2）思考：当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？2121224)(1xxxxk221212()()ABxxyy221212()[()()]xxkxbkxb2121kxx12211AByyk借助韦达定理求弦长dr2l或2．关于弦长计算:直线与二次曲线相交所得的弦长直线具有斜率k,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)AxyBxy,则它的弦长2221212121(1)()4ABxxxxxxkk1211yy2k注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()yyxxk，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AByy.例1.已知直线和椭圆（1）当直线和椭圆有相交时，求实数的取值范围；2yxm2222xym解：联立方程组消去得因为直线和椭圆有相交，所以即解得22222xyyxmy2298220xmxm0226449220()mm33m（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.AByＯx11(,)Axy22(,)Bxy一.直线和椭圆位置关系及弦长问题2.弦长公式设直线l与曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝其中k是直线的斜率若要求弦长,韦达来帮忙.小结11.椭圆与直线的位置关系的判断方法判别式法212122111kxxyyk21xyx2+4y2=2解：联立方程组消去y01452xx∆0因为所以，方程（１）有两个根，则原方程组有两组解….-----(1)（2）求直线被椭圆所截的弦长|AB|.跟踪练习1.已知直线和椭圆，（1）判断直线和椭圆的位置关系2242xy12yx12yx2242xy由韦达定理得12124515xxxx2||1||ABABkxx利用弦长公式求解：二.与相交弦中点有关的问题例2.已知直线和椭圆2yxm2222xy解：联立方程组消去得整理得22222xyyxmy22222()xxm2298220xmxm求直线与椭圆相交时，相交弦中点的轨迹方程；ABM由韦达定理得1289mxx设交点，中点1122(,),(,)AxyBxy(,)Mxy12121242929()xxmxyymyxxm40xy消参得又由33m4433x434430()xxy所以中点的轨迹方程；M弦中点问题：“点差法”、“韦达定理”遇到弦中点,两式减一减;小结2跟踪练习2.过点A(2,1)的直线与椭圆相交，求直线被椭圆截得的弦的中点M的轨迹方程.ll2222xy1.已知椭圆，过点且被点平分的弦所在的直线方程.1122(,)PP2222xy分析:设00(,)Pxy是椭圆上任一点,试求点P到直线45400xy的距离的表达式.000022454045404145xyxyd且22001259xy尝试遇到困难怎么办?作出直线l及椭圆,观察图形,数形结合思考.例3:(课本例7)已知椭圆221259xy,直线45400xy,椭圆上是否存在一点,到直线l的距离最小?最小距离是多少?lmm例3.已知直线与椭圆，求证与椭圆恒有公共点.22154xyxy552-2法一：用判别式法（代数法）11法二：由于直线L过定点（0，1）在椭圆内，故L与椭圆相交。三.直线和椭圆位置关系的应用数形结合10:()lykxkRl变式练习（学案P127）分析：依题意知直线过定点（0，1）,且点在椭圆上或内部，即且5m220115m2.直线与椭圆的位置关系是.22194yx1.直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是.1()ykxkR2215yxm1ykxk1.直线与椭圆位置问题的有关知识点:知识点一:直线与椭圆交点个数问题；知识点二:有关曲线的弦长问题；知识点三:有关弦中点问题(求中点弦所在直线方程和弦的中点轨迹方程)；2．数学思想：判别式法,韦达定理,点差法,数形结合,函数与方程,等价转化等。归纳与小结遇到弦中点,两式减一减;若要求弦长,韦达来帮忙.1.已知椭圆，过点M(2,1)作弦AB，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程.并求弦长|AB|.课后练习221164yx2.直线l：y=x+4与椭圆相离，求实数b的取值范围.2214yxb3.己知椭圆C:,直线,问k取何值时直线与椭圆相交?相切?相离?221169yx35()ykx