概率论与数理统计浙大第四版习题答案全

概率论与数理统计浙大第四版习题答案全概率论与数理统计习题答案完全版浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1.[一]写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一]1），n表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一]2）S={10，11，12，„„„，n，„„„}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。（[一](3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二]设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生。表示为：ABC或A－(AB+AC)或A－(B∪C)（2）A，B都发生，而C不发生。表示为：ABC或AB－ABC或AB－C（3）A，B，C中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A，B，C都发生，表示为：ABC表示为：ABC或S－(A+B+C)或（5）A，B，C都不发生，（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。故表示为：。（7）A，B，C中不多于二个发生。相当于：A,B,C中至少有一个发生。故表示为：或ABC（8）A，B，C中至少有二个发生。相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC6.[三]设A，B是两事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.问(1)在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P(A)=0.6，P(B)=0.7即知AB≠φ，（否则AB=φ依互斥事件加法定理，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1与P(A∪B)≤1矛盾）.从而由加法定理得P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)(*)（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6，（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.7－1=0.3。7.[四]设A，B，C是三事件，且求A，B，C至少有一个发生的概率。，4解：P(A，B，C至少有一个发生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+8.[五]在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？记A表“能排成上述单词”2∵从26个任选两个来排列，排法有A26种。每种排法等可能。字典中的二个不同字母组成的单词：55个∴559.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2„„9）记A表“后四个数全不同”∵后四个数的排法有104种，每种排法等可能。4后四个数全不同的排法有A10∴10.[六]在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A∵10人中任选3人为一组：选法有种，且每种选法等可能。又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有∴（2）求最大的号码为5的概率。记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有种，且每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有种11.[七]某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？记所求事件为A。9在17桶中任取9桶的取法有C17种，且每种取法等可能。432取得4白3黑2红的取法有故12.[八]在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品”为事件A∵在1500个产品中任取200个，取法有200个产品恰有90个次品，取法有种，每种取法等可能。种∴（2）至少有2个次品的概率。记：A表“至少有2个次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有种，200个产品含一个次品，取法有种∵且B0，B1互不相容。∴13.[九]从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？记A表“4只全中至少有两支配成一对”则A表“4只人不配对”∵从10只中任取4只，取法有种，每种取法等可能。要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有15.[十一]将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？记Ai表“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4³3³2种。(选排列：好比3个球在4个位置做排列)对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有种。(从3个球中选2个球，选法有C32，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)16.[十二]50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。法一：用古典概率作：把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）3333对E：铆法有种，每种装法等可能333对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔〕×种法二：用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）3对E：铆法有A50种，每种铆法等可能对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，„或“28，29，种30”位置上。这种铆法有17.[十三]已知求。解一：注意故有P(AB)=P(A)－P(AB)=0.7－0.5=0.2。再由加法定理，P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.7+0.6－0.5=0.8于是解二7故1定义由已知18.[十四求。432定义由已知条件有解：由P(A|B)P(B)P(B)2P(B)6由乘法公式，得由加法公式，得19.[十五]掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P(A|B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x,y）（x,y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为S={(x,y)|(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}每种结果（x,y）等可能。A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故P(AB)P(B)方法二：（用公式S={(x,y)|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能A=“掷两颗骰子，x,y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。则，662故20.[十六]据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P(B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P(C|AB)=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为P(ABC)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P(C|AB)P(AB)=P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3,P(C|AB)=1－P(C|AB)=1－0.4=0.6.从而P(ABC)=P(AB)·P(C|AB)=0.3×0.6=0.18.21.[十七]已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（记为事件A）法一：用组合做在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。法二：用排列做在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记A1，A2分别表第一、二次取得正品。45（2）二只都是次品（记为事件B）C22法一：法二：法三：（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）C10211法一：法二：法三：且A1A2与A1A2互斥（4）第二次取出的是次品（记为事件D）法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，A10211法二：法三：且A1A2与A1A2互斥22.[十八]某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？记H表拨号不超过三次而能接通。Ai表第i次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。三种情况互斥10如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。24.[十九]设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。∵∴B=A1B+A2B且A1，A2互斥P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)[十九](2)第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。C2为“从第一盒子中取得2只白球”。C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，D为“从第二盒子中取得白球”，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)P(D|C3)26.[二十一]已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1A2=φ由已知条件知由贝叶斯公式，有1P(A1B)P(B)P(A1)P(B|A1)2021005[二十二]一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为P（1）若至少2有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解：Ai={他第i次及格}，i=1,2已知P(A1)=P(A2|A1)=P，2（1）B={至少有一次及格}所以两次均不及格∴12P2（2）P(A1A2)定义P(A1A2)P(A2)（*）由乘法公式，有P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=P2由全概率公式，有P2PP2将以上两个结果代入（*）得P22PP2P128.[二十五]某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。解：设