概率论与数理统计第六章习题课

数理统计概率统计习题课七数理统计一．填空题：1）设总体12(,),01,,,,nXBnppXXX为其子样，n及p的矩估计分别是(),EXnp1解：由2222()()()(1),EXDXEXnppnp2111,p得212112,n数理统计21ˆ1,nSnpX于是22ˆ,1XnnXSn211ˆ1,niiXnpXX故2221ˆ,1niiXnXXXn数理统计一．填空题：2）设总体120,,(,,,)nXUXXX是来自X的样本，则的极大似然估计量是10()0xfx解：由其它10,1,2,()0inxinL似然函数其它1maxiinx数理统计1110minmax,()0iinininxxL即其它1ˆmaxiinx数理统计20.92解：已知，2Xzn一．填空题：3）设总体2(,0.9)XN容量为9的简单随即变量，均值5x，则未知参数的置信度为0.95的置信区间是置信区间5,9,0.9,0.05xn而，0.02521.96zz20.588zn故置信区间为4412,5.588.4412,5.588.数理统计1)设12,,,nXXX是取自总体X的一个简单样本，则2()EX的矩估计是（A）22111()1niiSXXn（B）22211()niiSXXn（C）221SX（D）222SX二、选择题：2()EX2解：由D22211()niiEXAXn故222211niiSXXn而数理统计2）总体2(,)XN，2已知，n时，才能使总体均值的置信度为0.95的置信区间长不大于L（A）152/2L;（B）15.36642/2L;（C）162/2L;（D）16二、选择题：解：B2Xzn置信区间为依题意，区间长度222222415.3664nzLL所以20.05,1.96z而由22zLn数理统计C3）设12,,,nXXX为总体X的一个随机样本，2(),()EXDX，12211()niiiCXX为2的无偏估计，则C＝（A）1n（B）11n（C）121n（D）12n二、选择题：解：2ˆE1211niiiECXX1221112niiiiiCEXXXX1222122niC222(1)nC12(1)Cn数理统计三、解答题1）设12,,,nXXX为总体X的一个样本,X的密度函数1,01()0,xxfx其他,0求参数的矩估计量和极大似然估计量。解：10101EXxxdx111111ˆ1X矩估量数理统计三、解答题1）设12,,,nXXX为总体X的一个样本,X的密度函数1,01()0,xxfx其他,0求参数的矩估计量和极大似然估计量。解：02似然函数为1()()niiLfx11,01,1,2,0,niiixxin其他01,1,2,ixin当时数理统计1ln()ln1lnniiLnx求导数得1ln0niinx1ˆlnniinx最大似然估计值为1ˆlnniinX最大似然估计量为数理统计三、解答题2）设X服从参数为的泊松分布，试求参数的矩估计与极大自然估计。解：011EXˆX矩估计量为数理统计11111()1!nniiiixxnnnniiiidLneexdx0ˆx最大似然估计值为ˆX最大似然估计量为02X分布律为似然函数为0,1,2,!xPXxexx1()niiLPXx111!niixnniiex0,1,2,ix数理统计三、解答题3）随机地从一批零件中抽取16个，测得长度()cm为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11，设零件长度分布为正态分布，试求总体的90％的置信区间：（1）若0.01()cm，（2）若未知。解：(1)0.01已知置信区间为2Xzn2.125,16,0.01,0.10xn而，0.0521.645zz20.004zn故置信区间为2.121,2.129数理统计解：(2)未知置信区间为2(1)SXtnn20.00442.125,16,,0.1015xnS而，0.052(1)(15)1.7531tnt2(1)0.0075Stnn故置信区间为2.1175,2.1325数理统计三、解答题4）某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别以两条流水线上抽取样本：1212,,,XXX及1217,,,YYY算出221210.6(),9.5(),2.4,4.7XgYgSS，假设这两条流水线上灌装的番茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，其均值分别为12,,（1）设两总体方差2212，求12置信度为95％的置信区间；（2）求21/22的置信度为95％的置信区间。解：(1)置信区间为1221211(2)XYStnnnn数理统计0.05，120.0252(2)(27)2.0518,tnnt置信区间为0.401,2.60122112212(1)(1)(2)nSnSSnn其中221210.6(),9.5(),2.4,4.7XgYgSS121212,17,227,nnnn1.1,XY1221211(2)1.501Stnnnn数理统计解：(1)置信区间为22112221221212211,(1,1)(1,1)SSSFnnSFnn0.05，120.0252(1,1)(11,16)2.94FnnF22122.4,4.7SS121212,17,111,116,nnnn1212210.0252111(1,1)(1,1)(16,11)3.33FnnFnnF置信区间为0.1737,1.7004数理统计三、解答题5）设2S是来自2(,)XN的随机样本12,,,nXXX的方差，2,是未知参数，试问,(0)abab满足什么条件才能使2的95％的置信区间22(1)(1),nSnSba的长度最短？解：222(1)~(1),nSn()fx概率密度是222(1)(1)nSnSPba由22(1)nSPab=0.95ba=f(x)dx数理统计置信区间长度为11-1222(n-)S(n-)SbaL(a,b)=(n-)Sabab只需求L(a,b)在0.95baf(x)dx条件下的最小值设(n-1)0.95b2abaFSf(x)dxab000aFF由得22af(a)bf(b)数理统计四、证明题证明：~(1,)XBp，(),EXp所以()iEXp()()EpEX故11niiEXnppp因而是的无偏估计.为了对一批产品估计其废品率p，随机取一样本X1,X2,…,Xn,其中10i=1,2,,ni,X,取得次品（）取得合格品试证明是p的无偏估计量.11niipXXn