不规则物体的质心计算和展示

§1质心§2质心参考系§3质心运动定理高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况§三质心质心运动定理§1质心水平上抛三角板运动员跳水投掷手榴弹其中为质点系的总质量12immmm若令系统总动量ciivmvmp质点系的整体运动可以等效为一个假想质点C的运动。iicmrrmiicmvvmiidrvdtiiiidrmmdrdtmmdtccdrvdt如何确定这个点的位置？niiniiicmrmr11质心(质量中心)：质点系质量分布的平均位置。直角坐标系中，各分量的表达式111111,,nnniiiiiiiiicccnnniiiiiimxmymzxyzmmm点C的位矢是质点系各质点位矢的质量加权平均。例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。xyo（x1,y1）x21212033cmxmxxxxm110033cmyyym对两质点系统，质心位置总满足关系式：m1d1=m2d2··×d1d2Cm1m2o对质量连续分布的物体，将其分为n个小质元11niiicrmrrdmmm111,,cccxxdmyydmzzdmmmm直角坐标系中的分量表达式•坐标系的选择不同，质心的坐标也不同；•密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处；•质心不一定在物体上，例如：圆环的质心在圆环的轴心上。线分布：mdmdll面分布：mdmdSS体分布：mdmdVV例：已知半圆环质量为Ｍ，半径为Ｒ求：它的质心位置？解：建立坐标系如图,取dl→dm=ldldl=Rd线密度MRlMdmRdRcydmyM0cx由对称性sinyR0sinsinMRRdRdRM2(cos)(11)0RRR质心不在物体上，但相对半圆环位置固定orR例：求半径为R的半球形球壳的质心22dm(rdl)(rRd)22Rsind半球壳的总质量为2220d2sind2mmRR如图将球壳细分成无数多细环，细环半径记为r，设球壳质量面密度为，则其中任一细环的质量为320212202ccx,yRRsincosdydmmR解：根据对称性，细环的质心位于y轴。rRsinyRcos半球壳质心的位置例：计算如图所示的面密度σ为恒量的直角三角形的质心的位置。解：取如图所示的坐标系取微元ds=dxdy，质量为dm=σds=σdxdy∴质心的x坐标为cxdmxdxdyxdxdyxdmdxdydxdyxbaay从图中看出三角形斜边的方程为()xdydx()axaxdxb12ab023222()122()()2333bcaxaxdxbxabaabbababbbabab同理0023aaxbbcydxdyayab∴质心的坐标为3,3ab例：半径为R的大球内有一个半径为R/2的球形空腔，空腔的下部放置了一个半径为R/4的小球。已知大球和小球的质量密度相同。求：系统的质心。解：该系统可看成由质量分布均匀(无空腔)的大、中、小三个球体组成，它们各自的质心分别处于球心处。中球的质量为负。oxy大球：中球：小球：10116400mm,x,y2220082m,xR/ym,303324mm,xR/,yR/设小球质量为m0，则质量和质心坐标分别为：系统的总质量为032157mmmmm3331231236481V:V:VR:R:R::三个球体可视为质量各自集中在质心（球心）处的三个质点。112233000042577114cmxmxmxmRmR/Rmxm11223300001228457cmymymym/myRRm实例①重心是重力的作用点，质心是系统质量分布的中心。②当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，但质心却依然存在。③除非重力场均匀，否则系统的质心与重心通常不重合。★重心(CenterofGravity)和质心(Center-of-Mass)是两个不同的概念：★质心的运动代表着质点系整体的运动，与单个质点的运动相同。这正是将实际物体抽象为质点模型的实质。质点系的任何运动一般都可分解为质心的运动和相对于质心的运动•小线度物体（其上各处相等），质心和重心是重合的。g•作用在物体上各部分的重力方向平行；重力加速度可以视为常数。对于地球上体积不太大的物体，重心与质心的位置是重合的。但当物体的高度和地球半径相比较不能忽略时，两者就不重合了，如高山的重心比质心要低一些。z'ri'x'y'xyzmircri011NiiiNiciirmrrm')(rrriic'§2质心参考系质心参考系是固结在质心上的平动参考系。质心在其中静止，一般选取质心作为坐标系的原点。iicimrrm质心系不一定是惯性系，只有合外力为零时质心系才是惯性系。vvviic'质心系中的速度求导mviiiN'10从质心系中来看，系统总动量=0，零动量参考系动量守恒在讨论碰撞及天体运动时经常用到质心系。卡戎(冥卫一)和冥王星组成双星系统，它们的共同质心在冥王星表面以外。§3质心运动定理1、系统的总动量系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度与系统质量的乘积········×CmivCvirCrizyxOciivmvmp2、质心运动定理质心运动定律：作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积。tmmttPFCCdd)(ddddvv外CFma外与描述质点运动的牛顿第二定律在形式上完全相同。整体的运动→单个质点的运动。质心的运动与内力无关，仅取决于外力，如大力士不能自举其身。若质点系受到的外力的矢量和为零，则质心静止或作匀速直线运动ozllzzm例：柔绳下落一质量m长度为l均匀柔绳竖直悬挂，其下端刚刚与地面接触。今使之自静止状态下落，求：绳下落到所剩的长度为z时，地面对绳的作用力。设地面对绳子的作用力N，绳子的质心加速度ac，建立如图所示坐标系，对整个绳子：cmamgN未落地部分：质量，质心的坐标为，zlmz2121122cmzz(zz)mll解：取整条绳子为研究对象，将柔绳视为质点系，采用质心运动定理求解。质心的坐标：未落地部分+已落地部分整条绳的质心坐标为质心的速度为ccdzzdzzvvdtldtl)(2zlgv质心的加速度为2ccdvdzvzdva(v)dtdtllldtgtvd/d2123czzzag()ggglll31zNmg()l例：车在船上的运动船长l1，质量m1；汽车长l2，质量m2。汽车从船尾由静止开始向船头运动，到达船头时恰好相对船静止，求：由于汽车的运动而使船移动的距离。解：在水平方向上，车和船组成的系统所受外力为零，动量守恒。方法1用动量守恒定律（略）外力=0，系统质心保持静止11022012()cmxmxmmx1101220212()()()cmxxmxxmmx方法2用质心的概念ox10x20xm1m2设初始船和车的坐标分别为x10和x20，根据质心坐标的定义得t0时刻t时刻两式相减得11220mxmx车的绝对位移为：212112()xxxxll船移动的距离111212()mxllmm车的相对位移212()xll解：考虑弹丸为一系统；爆炸前后系统所受外力没变，弹丸的质心的运动轨迹都在同一抛物线上。取第一块碎片的落地点为坐标原点，水平向右为正方向，设m1和m2为两个碎片的质量；设x1和x2为两块碎片落地点距原点的距离；xc为弹丸质心距原点的距离。212211mmxmxmxC由于x1=0，m1=m2=mCxx22即第二块碎片的落地点的水平距离为碎片质心与第一块碎片水平距离的两倍。例：设一个质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，到最高点处爆炸成质量相等的两块碎片。其中一块碎片竖直自由下落，另一块碎片水平抛出，它们同时落地。试问第二块碎片落地点在何处？小结•质心niiniiicmrmr11/•质心运动定理cccaMdtvdMF质心位置的计算，区别质心与重心•*质心参考系：零动量参考系系统的运动=整体的运动+各质点相对于质心的运动质心的运动与内力无关演示作业：P-13938，39