直角三角形中的成比例线段(射影定理)

原来学好数学，一点都不难！使学生了解射影的概念，掌握射影定理及其应用。直角三角形中的比例线段定理在证题和实际计算中有较多的应用。你知道吗？例2证法有一定的技巧性。1.已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。在Rt中，=90,有_____________________.ABCC222ABBCAC(1)一锐角相等(2)任意两边对应成比例.大家先回忆一下：CADB已知直角三角形ABC，CD垂直AB问：1．图中有几个Rt△?2．有几对△相似？3．CD=？AC=？BC=？222AD·DBAD·ABBD·BA求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。ADBC已知：在RtΔABC中，CD是斜AB上的高。求证：ΔABCΔACD∽ΔCBD。∽如图，.,90ABCDCABC中，由母子相似定理，得∽ADCACB推出：CADABCCDABAC所以：DAABAC2CADB同理，得：CDB∽DBABCBABCBCBDBACCDACB2ACD∽ADBDCDCDADBDCDCBACCBD2CADB是高，则有中，在CDABCRtAC是AD,AB的比例中项。BC是BD,AB的比例中项。CD是BD,AD的比例中项。那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？这节课，我们先来学习射影的概念。1.射影：（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN上的影子应是什么？（2）线段留在MN上的影子是什么？A’定义：过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线，垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在直线l上的正射影，简称射影。ABA’B’lAMN.BB’1.射影点在直线上的正射影从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。一条线段在直线上的正射影线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。A´AANMNMABA´B´点和线段的正射影简称射影讨论：1．线段在直线上的射影结果点或线段2．直线在直线上的射影结果点或直线各种线段在直线上的射影的情况：ABA’B’lAA’B’BllAA’BB’如图,CD是的斜边AB的高线ABCRt这里:AC、BC为直角边，AB为斜边，CD是斜边上的高AD是直角边AC在斜边AB上的射影,BD是直角边BC在斜边AB上的射影。CADBABADAC2ABBDBC2DBADCD2由复习得：CADB用文字如何叙述？直角三角形中的成比例线段直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.这就是射影定理ABADAC2DBADCD2ABBDBC2CADB1．直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项;2．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项;CADB具体题目运用：ACBCCDAB根据应用选取相应的乘积式。ABADAC2ABBDBC2DBADCD2利用射影定理证明勾股定理:222ABABBDABADBCAC射影定理只能用在直角三角形中,且必须有斜边上的高CADB这里犯迷糊，可不行！利用射影定理证明勾股定理:222ABABBDABADBCAC利用勾股定理证明射影定理:CADBAB=(AD＋DB)=AD＋2AD·DB＋DBAC＋BC=ABAC－AD=CDBC－BD=CD2222222222222探究：△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高。你能从射影的角度来考察AC与AD，BC与BD等的关系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？ABDC.90,9000BCDBBCDACDBACDCBDACDBDCDCDAD)1(2BDADCD即CBDRtACDRt和考察BCARtBDCRt和考察,是公共角BBCACDA由同理,ABBCBCBD)2(2ABBDBC即)3(2ABADAC有∽BCABDC∽∽射影定理直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。2CDADBD2BCBDAB2ACADABABDC用勾股定理能证明吗?∵AB²=AC²+BC²∴(AD+BD)²=AC²+BC²即2AD·BD=AC²-AD²+BC²-BD²∵AC²-AD²=CD²，BC²-BD²=CD²∴2AD·BD=2CD²∴CD²=AD·BD而AC²=AD²+CD²=AD²+AD·BD=AD(AD+BD)=AD·AB同理可证得BC²=BD·AB总结：已知“直角三角形斜边上的高”这一基本图形中的六条线段中的任意两条线段，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程的思想。ABDC1.直角△ABC中已知:CD=60AD=25求：BD,AB,AC,BC的长BD=144,AB=169,AC=65,BC=156如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。例1解:答:CD,AC,BC的边长分别为cmcmcm34,4,32CADB分析：利用射影定理和勾股定理;3212,12622cmCDDBADCD;416,166222cmACABADAC.3448,486262cmBCABBDBC(1)在中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段ABCRtAC,BC,CD,AD,DB,AB已知任意两条,便可求出其余四条.(2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条可求第三条.(3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.你都弄懂了吗？ABCDEABABC【选择题】1、已知直角三角形中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，交AB于E，且AD=3.2cm，则DE=（）A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm2、如图1-1，在Rt中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长.A、1B、2C、3D、43.如图，已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。ab射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。（证明略）二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。（证明略）２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。（证明略）361图ACBD.:.,,,36122是直角三角形求证且边上的射影为在顶点中如图ABCBDADCDDABCABC..,,090BDCCDAABCDDABCBDCCDA因而所以上的射影为在点因为中和在证明即又因为,DBADCD2.~BDCCDA所以.BCDCAD故.::DBCDCDAD所以因为中在.,090ACDCADACD090ACDBCD,090ACBACDBCD则.是直角三角形因此ABCDEAM2224abDEab如图3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，，E是垂足，求证：RtAMBRtADEAMBDAE90ABMAEDRtAMBRtADEABAMDEAD证明：在和中，，所以～所以，因为AB=a，BC=b，所以2222244ABADababDEAMbaba4如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，DF⊥AC于F，DG⊥BE于G。求证：CF·AC=CG·BC证明：∵CD⊥AB，DF⊥AC∴△CDF∽△CAD∴CF︰CD=CD︰AC∴CD2=CF·AC同理可证CD2=CG·BC∴CF·AC=CG·BCCEFFBCDF:,求证于∽例1.如图,在中,ABC,,EACDEDABCD于于.CBA分析:欲证CEF∽.CBA公共角ECFACB已具备条件要么找角,要么找边.CACFCBCECEADFBCEFBCFEA或证法一：例2.如图,在中,ABC,,EACDEDABCD于于.CBACEFFBCDF:,求证于∽ACDEABCDCACECD2BCDFABCDCBCFCD2CBCFCACECACFCBCEBCAECF∽.CBACEFCEADFB•如图中共有6条线段，已知任意2条，求其余线段。•运用射影定理时，注意前提条件CADB•求边注意联系方程与勾股定理•直角三角形两锐角互余•勾股定理•直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半•直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半及其逆定理。•射影定理•（由面积得）两直角边积等于斜边上的高与斜边的积•直角三角形斜边上的高线分成的两直角三角形与原三角形相似（母子相似定理）这节课的知识，你都听懂了吗？总结：1、知识：学习了直角三角形中重要的比例式和比例中项的表达式——射影定理。2、方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等积式。3、能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图形的能力。4、数学思想：方程思想和转化思想。1.从特殊到一般的思考方法.数学方法:在研究数学问题时,通过考察特殊性问题获得一般规律的猜想,并从中得到证明一般规律的思想方法的启发;然后由特殊过渡到一般,对一般性结论作出严格证明.2.化归思想方法.在研究问题时,常常通过一定的逻辑推理,将困难的,不熟悉的问题转化为容易的熟悉的问题.恒等变形,换元法,数形结合法,参数法等,都是具体的化归方法.相似三角形的证明采用了化归为预备定理的方法.结束寄语•不经历风雨，怎么见彩虹,没有人能随随便便成功!下课了!