湖南师大附中高考数学二轮复习专项 (8)

湖南师大附中高考数学二轮复习专项：数列1.已知数列na为等差数列，每相邻两项ka，1ka分别为方程0242kcxkx，（k是正整数）的两根.求na的通项公式;求nccc21之和;对于以上的数列｛an｝和｛cn｝,整数981是否为数列｛nnca2｝中的项？若是,则求出相应的项数；若不是,则说明理由.2.已知二次函数()yfx的图像经过坐标原点，其导函数为'()62fxx，数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设13nnnaab，nT是数列{}nb的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m.3.已知函数2)1()(xxf，数列{na}是公差为d的等差数列，数列{nb}是公比为q的等比数列（q≠1，Rq），若)1(1dfa，)1(1qb，)1(3qfb（1）求数列{na}和{nb}的通项公式；（2）设数列{nc}的前n项和为nS，对Nn都有2121bbcc…1nnnabc求nnnSS212lim4.各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn,函数.ln)(21)(2xqxqppxxf（其中p、q均为常数，且pq0），当1ax时，函数f(x)取得极小值，点))(2,(NnSnn均在函数qxfxqpxy)(22的图象上，（其中f′(x)是函数f(x)的导函数）（1）求a1的值；（2）求数列}{na的通项公式；（3）记}{,34nnnnbqnSb求数列的前n项和Tn.5.已知函数,1)21(,)1,1()(fxf上有意义在且任意的x、)1,1(y都有).1()()(xyyxfyfxf（1）若数列).(),(12,21}{*211nnnnnxfNnxxxxx求满足（2）求)21()131()111()51(12nfnnfff的值.6.已知函数()log(01)afxxaa且，若数列：*122,(),(),,(),24()nfafafannN成等差数列.(1)求数列{}na的通项na；(2)若2a，令()nnnbafa，求数列{}nb前n项和nS；(3)在(2)的条件下对任意*nN，都有1()nbft，求实数t的取值范围.7.已知函数),,()(2Rcbacbxaxxf，当]1,1[x时，1|)(|xf证明：1||b若1)(,1)0(xff，求实数a的值。若2,0,0cba，记)(xf的图象为C，当),0(x时，过曲线上点))(,(00xfx作曲线的切线1l交x轴于点)0,(11xP，过点))(,(11xfx作切线2l交x轴于点)0,(22xP，……依次类推，得到数列,,,,321nxxxx，求nnxlim8.设函数()ln,()2()afxxgxaxfxx．（1）若()gx在定义域内为单调函数，求a的取值范围；（2）证明：①()1(0)fxxx；②2*222ln2ln3ln21(,2)234(1)nnnnNnnn9.某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入Tn与时间n（以月为单位）的关系为Tn=an+b，且入世第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．10.已知奇函数).(,1222)(Rxaaxfxx（Ⅰ）试确定实数a的值，并证明f（x）为R上的增函数；（Ⅱ）记,,1)]12([log212nnnnaaaSfa求nnSlim；（Ⅲ）若方程)(xf在（－∞，0）上有解，试证0)(31f．11.已知xxxfsin)(，数列}{nx满足431x，0cos21nnxx。（*Nn）判断并证明函数)(xf的单调性；数列}{ny满足|2|nnxy，nS为}{ny的前n项和。证明：nS2。12.已知数列na的前n项和为nS，若1,211nnSanann，（1）证明数列na为等差数列，并求其通项公式;（2）令nnnST2，①当n为何正整数值时，1nnTT：②若对一切正整数n，总有mTn，求m的取值范围。13.如图，将圆分成个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为na。求（Ⅰ）1234,,,aaaa；（Ⅱ）na与12nan的关系式；（Ⅲ）数列na的通项公式na，并证明*2nannN。14.设}}{{nnba是两个数列，点)2,1(),2(),2,1(nnnBaAMnnn为直角坐标平面上的点.（Ⅰ）对,*Nn若三点nnBAM,,共线，求数列}{na的通项公式；n987654321（Ⅱ）若数列{nb}满足：nnnnaaabababac2122112log，其中}{nc是第三项为8，公比为4的等比数列.求证：点列1P(1，),(),,2(),221nnbnPbPb在同一条直线上，并求出此直线的方程.15.已知数列}{},{nnba中，221),0(tatta，且tx是函数xaaxaaxfnnnn)()(31)(131的一个极值点。（1）求数列}{na的通项公式；（2）若点Pn的坐标为))(,1(Nnbn，过函数)1ln()(2xxg图象上的点))(,(nnaga的切线始终与nop平行（点O为坐标原点）；求证：当221t时，不等式22122111nnnbbb对Nn成立。16.函数2()(1)(1)fxxx的反函数为1()fx，数列{}na满足：1111,()(*)nnaafanN，数列{}nb满足：12212(*)222nnnbnbbanN，（1）求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）记[(lg2lg)lg()](01)nnnctntbntt且，若对任意的nN，恒有1nncc成立，求实数t的取值范围.17.已知曲线y=xx3，过曲线上一点),(nnnyxP（异于原点）作切线nl。（I）求证：直线nl与曲线y=xx3交于另一点),(111nnnyxP；（II）在（I）的结论中，求出nnxx与1的递推关系。若11x，求数列nx的通项公式；（III）在（II）的条件下，记12531321nnxnxxxR，问是否存在自然数m，M，使得不等式mRnM对一切nN恒成立，若存在，求出M－m的最小值；否则请说明理由。18.设数列an满足attannnannn1111212()()，，，，……（I）用数学归纳法证明：annntnntnn12112()，，……；（II）求lim!nnaaan121……。19.某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：1998年1999年2000年新植亩数100014001800沙地亩数252002400022400而一旦植完，则不会被沙化：问：（l）每年沙化的亩数为多少？（ll）到那一年可绿化完全部荒沙地？20.已知2)1x()x(f，)1x(10)x(g，数列na满足2a1，0)a(f)a(g)aa(nnn1n，1)a)(2n(109bnn．（Ⅰ）求证：数列1an是等比数列；（Ⅱ）当n取何值时，nb取最大值，并求出最大值；（III）若1m1mmmbtbt对任意*Nm恒成立，求实数t的取值范围．21.以数列}{na的任意相邻两项为坐标的点))(,(1NnaaPnnn均在一次函数kxy2的图象上，数列}{nb满足条件：)0,(11bNnaabnnn，（1）求证：数列}{nb是等比数列；（2）设数列}{na，}{nb的前n项和分别为nS，nT，若46TS，95S，求k的值.22.已知函数()log(01)afxxaa且，若数列：*122,(),(),,(),24()nfafafannN成等差数列.(1)求数列{}na的通项na；(2)若2a，令()nnnbafa，求数列{}nb前n项和nS；(3)在(2)的条件下对任意*nN，都有1()nbft，求实数t的取值范围.23.设()2()qgxpxfxx.其中()lnfxx，且()2pgeqee(e为自然对数的底数).(1)求p与q的关系；(2)若()gx在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；(3)求证：(i)()1(0)fxxx；(ii)2*222ln2ln3ln21(,2)234(1)nnnnNnnn24.已知函数0)1(,ln2)(fxxbaxxf．（Ⅰ）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0，且211()11nnafnan，已知a1=4，求证：an2n+2；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较naaaa11111111321与52的大小，并说明你的理由．答案1.解：(1)设等差数列na的公差为d，由题意得)(221411是正整数kcaakaakkkkk由1得4)1(434211kaakaakkkk224342ddaakk得由12,4231nanaaaannnnn得另解:由1得128413221adaaaa得(其余略)(2)nnncaa221式得由121121)12)(12(221nnnnaacnnn1211)121121()5131()311(21nnncccn(10分)1)1211(lim)(lim2121nccccccnnnn(3))12()12(2212nncann得由∵n是正整数,)12()12(2nn是随n的增大而增大,又891255ca＜981,1573266ca＞981∴整数981不是数列｛nnca2｝中的项.2.解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上，所以nS＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－)1(2)132nn（＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（nN）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13nnnaab＝5)1(6)56(3nn＝)161561(21nn，故Tn＝niib1＝21)161561(...)13171()711(nn＝21（1－161n）.因此，要使21（1－161n）20m（nN）成立的m,必须且仅须满足21≤20m，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.3.解：（1）数列{na}为等比数列，∴daa213为等比数列，又∵2213)2()1()1(