湖南师大附中高考数学二轮复习专项不等式(含详解)

湖南师大附中高考数学二轮复习专项不等式（含详解）1.已知fx是定义在R上的奇函数，当0x时，21fxxx。（1）求函数fx的解析式；（2）求不等式1fx的解集。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2.直线l过曲线22yx上一点(,)nnxy，斜率为2nx，且l与x轴交于点1(,0)nx，其中12,.xnN⑴试用nx表示1nx；⑵证明：112(2)2nnxx；⑶若nxa对nN恒成立，求实数a的取值范围。3.已知实数x满足032232xxxx求函数|1|)(xxxf|的最小值。4.已知函数f(x)=))(6(3)4(23Rxnmxxmx的图像关于原点对称，其中m,n为实常数。（１）求m,n的值；（２）试用单调性的定义证明：f(x)在区间[-2,2]上是单调函数；（３）[理科做]当-2≤x≤2时，不等式)log()(anxfm恒成立，求实数a的取值范围。5.已知函数)0()(txtxxf和点)0,1(P，过点P作曲线)(xfy的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．（Ⅰ）设)(tgMN，试求函数)(tg的表达式；（Ⅱ）是否存在t，使得M、N与)1,0(A三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n，在区间]64,2[nn内总存在1m个实数maaa,,,21，1ma，使得不等式)()()()(121mmagagagag成立，求m的最大值．6.已知函数()lg()(10)xxfxabab（1）求()yfx的定义域；（2）在函数()yfx的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；（3）当a、b满足什么条件时，()fx在(1,)上恒取正值。7.已知正项数列na的前n项和22nnnaas，11(*)2nannbnaN．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）定理：若函数)(xf在区间D上是凹函数，且()fx存在，则当1212(,)xxxxD时，总有12112()()()fxfxfxxx．请根据上述定理，且已知函数1(*)nyxnN是),0(上的凹函数，判断nb与1nb的大小；（Ⅲ）求证：32nb．8.设函数f（x）=xaxxln1在[1+，∞)上为增函数.（1）求正实数a的取值范围.（2）若a=1，求征：114131211413121nnnlnn（n∈N*且n≥2）9.已知数列na满足11141,21nnnaaanka.（1）求数列na的通项公式；（2）当13k时，证明不等式：1238nnkaaak.10.已知数列na满足11141,221nnnaaana.（1）求数列na的通项公式；（2）证明不等式：123162nnaaa.11.已知函数.||1)(xaxf(Ⅰ)求证：函数),0()(在xfy上是增函数.(Ⅱ）若),1(2)(在xxf上恒成立，求实数a的取值范围.（Ⅲ）若函数],[)(nmxfy在上的值域是)](,[nmnm，求实数a的取值范围.12.已知函数)(xf的定义域为R，对任意的21,xx都满足)()()(2121xfxfxxf，当0x时，0)(xf.（1）判断并证明)(xf的单调性和奇偶性；（2）是否存在这样的实数m，当]2,0[时，使不等式0)23(]cossin4)cos)(sin2(2[sinmfmf对所有恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.13.已知二次函数),,(,)(2Rcbacbxaxxf满足：对任意实数x，都有xxf)(，且当x（1，3）时，有2)2(81)(xxf成立。（1）证明：2)2(f;（2）若)(,0)2(xff的表达式;（3）设xmxfxg2)()(,),0[x，若)(xg图上的点都位于直线41y的上方，求实数m的取值范围。14.设集合}2|||{},1122|{axxBxxxA，若AB，求实数a的取值范围.15.对于函数1)(2bxaxxf（a＞0），如果方程xxf)(有相异两根1x，2x．（1）若211xx，且)(xf的图象关于直线x＝m对称．求证：21m；（2）若201x且2||21xx，求b的取值范围；（3）、为区间1[x，]2x上的两个不同的点，求证：02))(1(2ba．16.已知函数f(x)=ax2+4x+b,(a,b∈R，a0),设关于x的方程f(x)=0的两实根为x1和x2,f(x)=x的两实根为α和β。（Ⅰ）若a,b均为负整数，|α-β|=1,求f(x)的解析式；（Ⅱ）（理）若α1β2，求证：x1x22。（文）若α为负整数，f(1)=0,求证：1≤|x1-x2|＜2.17.如关于x的方程1,01log12log3logaaxxxaaa有解，求实数a的取值范围。18.已知函数fxxxxx()()222322（其中x1且x2）（I）求函数f(x)的反函数fx1()（II）设gxfxx()()131，求函数g(x)最小值及相应的x值；（III）若不等式()()()11xfxmmx对于区间[]1412，上的每一个x值都成立，求实数m的取值范围。19.设a＞0，函数f（x）＝3x-ax在[1，＋∞）上是单调函数．（1）求实数a的取值范围；（2）设0x≥1，f（x）≥1，且f（f（0x））＝0x，求证：f（0x）＝0x．20.已知86)1(2xxxf，(x，3]．（1）求f（x）；（2）求)(1xf；（3）在f（x）与)(1xf的公共定义域上，解不等式f（x）＞)(1xf＋2x．21.已知不等式的解集为P。（1）若P≠Ø,求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使P∩Z={6,8},若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。22.解关于x的不等式012)1(xxk(k≥0，k≠1).23.设函数f(x)=x2+(lga+2)x+lgb，g(x)=2x+2，若f(－1)=0，且对一切实数x，不等式f(x)≥g(x)恒成立；（Ⅰ）（本问5分）求实数a、b的值；（Ⅱ）（本问7分）设F(x)=f(x)－g(x)，数列{an}满足关系an=F(n)，证明：.1111142121nnananann24.设函数)(xf的定义域是R，对于任意实数nm,，恒有)()()(nfmfnmf，且当0x时，1)(0xf．（Ⅰ）求证：1)0(f，且当0x时，有1)(xf；（Ⅱ）判断)(xf在R上的单调性；（Ⅲ）设集合)1()()(|),(22fyfxfyxA，集合RayaxfyxB,1)2(|),(，若AB，求a的取值范围．答案：1.（1）fx是定义在R上的奇函数，00f。设0x，则0x，21fxfxxx，221,00,01,0xxxfxxxxx（2）当0x时，由211xx得02x；当0x时，符合题意；当0x时，由211xx得1x；原不等式的解集为,10,2。2.（1）依题意得直线l的方程为)(2nnnxxxyy，令)(2202nnnxxxxy得，即,0,222nnnxxxx若则直线l的方程为xly与,2轴无交点，故.22,22,0212nnnnnnxxxxxxx即（2）(*)2)2(2)12(22)2(212)2()2(21)2(21nnnnnnnnnnxxxxxxxxxx由于212,0,0,0,02,1222132121nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx故又若,2,21nnxx则从而21221xxxxnn，这与21x矛盾，因此)2(212,0(*),21nnnxxx故（3）nnnnnnnnxxxxxxxx,0221221单调递减，Nnxxn,21恒成立，则只需,2a故a的取值范围是),2(.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3.原§不等式等价于),3,1[]2,(0)3()1)(2(2xxxxx于是，]2,()1()3,1[,1)(xxxxxxxf当x∈[1，3）时，f（x）≥2（当且仅当x=1时取等号）；当x∈（-∝，-2]时，可证得f（x）在（-∞，-2]上单调递减，故25)2()(fxf（当且仅当x=-2时取等号）所以，所求函数的最小值为2。4.(1)由于f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x)恒成立，)6(3)4()6(3)4(2323nmxxmxnmxxmx,,0,012022)12)(()12()12(,2,2,,12)()1()2(.6,40)6()4(212122212121212221212123213121212132xfxfxfxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfxxxxxxxfnmnxm即从而，知，由且任取可知由恒成立，必有即∴f(x)在[-2,2]上是减函数。（3）由（2）知f(x)在[-2,2]上是减函数，则-22x时,.162fxf故-2时，2x不等式f(x)aanmmlog)log(恒成立.416108log2log0)2)(log8(loglog)log6(168444444aaaaaaaa或或5.（Ⅰ）设M、N两点的横坐标分别为1x、2x，21)(xtxf，切线PM的方程为：))(1()(12111xxxtxtxy，又切线PM过点)0,1(P，有)1)(1()(012111xxtxtx，即02121ttxx，………………………………………………（1）同理，由切线PN也过点)0,1(P，得02222ttxx．…………（2）由（1）、（2），可得21,xx是方程022ttxx的两根，.,22121txxtxx………………（*）22211221)()(xtxxtxxxMN])1(1[)(221221xxtxx])1(1][4)[(22121221xxtxxxx，把（*）式代入,得ttMN20202,因此，函数)(tg的表达式为)0(2020)(2ttttg．（Ⅱ）当点M、N与A共线时，NAMAkk，01111xxtx＝01222xxtx，即21121xxtx＝22222xxtx，化简，得0])()[(211212xxxxtxx，21xx，1212)(xxxxt．………………（3）把（*）式代入（3），解得21t．存在t，使得点M、N与A三点共线，且21t．（Ⅲ）解法1：易知)(tg在区间]64,2[nn上为增函数，)64()()2(nngaggi)1,,2,1(mi，则)64()()()()2(21nngmagagaggmm．依题意，不等式)64()2(nnggm对一切的正整数n恒成立，)64(20)n6420(n22022022nnm，即)]64()n64[(n612n