高等数学 8-7.方向导数与梯度

实例：一块金属板，在某点O处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到O点的距离成反比．在P点处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最快的方向爬行.一、问题的提出这个方向即是我们将要讲的梯度方向．讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．),(yxfz二、方向导数的定义oyxlPxyQ．引射线内有定义，自点的某一邻域在点设函数lPPUyxPyxfz)(),(),().(),(,pUPlyyxxPlx上的另一点且为并设为的转角轴正向到射线设（如图）||PP,)()(22yx),,(),(yxfyyxxfz且当沿着趋于时，PPl),(),(lim0yxfyyxxf,z考虑是否存在？定义:上述极限若存在,则称此极限为函数在P处沿方向的方向导数,记为fl.),(),(lim0yxfyyxxflf若函数),(yxf可导，则(2).沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是yxff,.(1).),(yxf在点P沿着x轴正向}0,1{1e、y轴正向}1,0{2e的方向导数分别为yxff,；因为在点P处沿着x轴正向变动时0,0yx'PP1e定理如果函数),(yxfz在点),(yxP处可微，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有sincosyfxflf，其中为x轴到方向L的转角．证明由于函数可微，则增量可表示为)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf两边同除以,得到cossin)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf故有方向导数),(),(lim0yxfyyxxf.sincosyfxflf考察函数在点处,沿方向的方向导数，我们有：00000(cos,sin)(,)limtfxtytfxyflt000(cos,sin)tdfxtytdt(cos,sin)l0000(,)cos(,)sinxyfxyfxy若函数在处可微，则根据复合函数求导法则，有00(,)xyfl00(,)xy方向导数的几何意义：tyz(cos,sin)v00(,)Pxy'z0cos,xxt0sin,yyt00(cos,sin)zfxtyt方向导数仍可理解为曲线上一点处右切线在新坐标系下的斜率.方向导数的物理意义：设一质点P在三维空间的运动轨迹为(时间t)00cos,sin,xxtyyt00(cos,sin)zfxtyt则P在０时刻的速度为0010203(,,),vvvv01cos,v02sin,v030000(,)cos(,)sinxyvfxyfxyfl例1求函数22),(yxyxyxf在点(1,1）沿与x轴方向夹角为的方向射线l的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？解sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1,1()1,1(xyyxsincos),4sin(2故（1）当4时，方向导数达到最大值2;（2）当45时，方向导数达到最小值2;（3）当43和47时，方向导数等于0.对于三元函数),,(zyxfu，它在空间一点000(,,)Pxyz沿着方向(cos,cos,cos)l的方向导数，可定义为0000000(,,)(,,)limfxxyyzzfxyzfl推广可得三元函数方向导数的定义(其中222()()()xyz,0000(cos,cos,cos)tdfxtytztdtcs,oxcs,oyco,s)z同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有.coscoscoszfyfxflf例2设n是曲面632222zyx在点)1,1,1(P处的指向外侧的法向量，求函数2122)86(1yxzu在此处沿方向n的方向导数.解令,632),,(222zyxzyxF,44PPxxF,66PPyyF,22PPzzF故zyxFFFn,,,2,6,4,142264222n方向余弦为,142cos,143cos.141cosPPyxzxxu22866;146PPyxzyyu22868;148PPzyxzu22286.14PPzuyuxunu)coscoscos(.711故定义设函数),(yxfz在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP),(，都可定出一个向量jyfixf，这向量称为函数),(yxfz在点),(yxP的梯度，记为),(yxgradfjyfixf.三、梯度的概念?:最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题Psincosyfxflf}sin,{cos},{yfxfeyxgradf),(,cos|),(|yxgradf其中((,),)gradfxye当1)),,(cos(eyxgradf时，lf有最大值.设jiesincos是方向l上的单位向量，由方向导数公式知函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为22|),(|yfxfyxgradf.结论gradfgradfP),(yxfz在几何上表示一张曲面曲面被平面所截得cz,),(czyxfz所得曲线在xoy面上投影如图oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高线),(yxgradf梯度为等高线上的法向量,且指向函数值增加的方向.P三元函数),,(zyxfu在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP),,(，都可定义一个向量(梯度).),,(kzfjyfixfzyxgradf类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数例4求函数yxzyxu2332222在点)2,1,1(处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu),,(,6)24()32(kzjyix故.1225)2,1,1(kjigradu在)0,21,23(0P处梯度为0.思考．讨论下列函数在原点处的连续性,可导性与可微性，及各方向的方向导数的存在性．1.2.2222220(,).00xyxyxyfxyxy22221sin,0(,).0,0xyxyxyfxyxy21,0(,)0,yxfxy其余情形3.4.22(,)fxyxy3：在原点处各方向的方向导数均存在，且为０;在原点处可导;在原点处不连续,当然也不可微．1与2：在原点处偏导为０，即沿两坐标轴正负向的方向导数存在,但其余各方向的方向导数均不存在．4：在原点处各方向的方向导数均存在，且为1;但在原点处不可导;在原点处不可微.