高等数学 二阶常系数非齐次线性微分方程

7.6.2二阶常系数非齐次线性微分方程型)(ef(x)xxpmλ小结型)sin)(cos)(()(xxpxxpexfmlx)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程,0qyypy通解结构,yYy常见类型),(xPm,)(xmexP,cos)(xexPxm,sin)(xexPxm难点：如何求特解？方法：待定系数法.型一、)()(xPexfmx设非齐方程特解为xexQy)(代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm不是特征方程的根，若)1(,02qp),()(xQxQm可设是特征方程的单根，若)2(,02qp,02p),()(xxQxQm可设;)(xmexQy;)(xmexxQy是特征方程的重根，若)3(,02qp,02p),()(2xQxxQm可设,)(xQexymxk设是重根是单根不是根2,10k上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）..)(2xmexQxy注意综上讨论特别地xAeqyypy是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根xxxexAxepAeqpAy222,2,.232的通解求方程xxeyyy解对应齐次方程通解特征方程,0232rr特征根，，2121rr,221xxececY是单根，2,)(2xeBAxxy设代入方程,得xABAx22,121BAxexxy2)121(于是原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy例1]sincos[)(xPxPexfnlx]22[jeePeePexjxjnxjxjlxxjnlxjnlejPPejPP)()()22()22(,)()()()(xjxjexPexP,)()(xjexPqyypy设,)(1xjmkeQxy利用欧拉公式型二、]sin)(cos)([)(xxPxxPexfnlx,)()(xjexPqyypy设,)(1xjmkeQxy][xjmxjmxkeQeQexy],sin)(cos)([)2()1(xxRxxRexmmxk次多项式，是其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max,10是单根不是根jjk上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.注意.sin4的通解求方程xyy解对应齐方通解,sincos21xCxCY作辅助方程,4jxeyy,是单根j,*jxAxey故代入上式,42Aj,2jA,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx所求非齐方程特解为,cos2xxy原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy（取虚部）例2.2cos的通解求方程xxyy解对应齐方通解,sincos21xCxCY作辅助方程,2jxxeyy,2不是特征方程的根j,)(2*jxeBAxy设代入辅助方程13034ABAj,9431jBA，,)9431(2*jxejxy例3)2sin2)(cos9431(xjxjx所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy,)2sin312cos94(2sin942cos31jxxxxxx（取实部）xAexAexxsin,cos.)(的实部和虚部分别是xjAe注意.tan的通解求方程xyy解对应齐方通解,sincos21xCxCY用常数变易法求非齐方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy设,1)(xw,cos)(tanseclnsin)(2211CxxcCxxxxc原方程通解为.tanseclncossincos21xxxxCxCy例4可以是复数）(),()()1(xPexfmx);(xQexymxk],sin)(cos)([)()2(xxPxxPexfnlx];sin)(cos)([)2()1(xxRxxRexymmxk(待定系数法)只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.小结写出微分方程xexyyy228644的待定特解的形式.思考题设的特解为2644xyyy*1yxeyyy2844设的特解为*2y*2y*1*yy则所求特解为0442rr特征根22,1rCBxAxy2*1xeDxy22*2（重根）*2y*1*yyCBxAx2.22xeDx思考题解答