高等数学 多元函数微分法及其应用

机动目录上页下页返回结束1/51多元函数微分法及其应用第七章习题课一、关于多元函数极限的题类二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类三、关于偏导数、全微分计算的题类四、关于多元函数微分学应用的题类1.几何应用.2.极(最)值机动目录上页下页返回结束2/51本章基本概念及其关系连续性偏导数存在方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续•定义域及对应规律•判断极限不存在及求极限的方法•函数的连续性及其性质2.几个基本概念的导出关系机动目录上页下页返回结束3/51偏导数连续可微连续偏导数存在极限存在极限存在【必须熟练掌握本章以下几个概念之间的关系】机动目录上页下页返回结束4/51一、关于多元函数极限的题类二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多，计算也更困难：【例1】2200limyxxyyx求【解】取路径y=kx，则,1)1(limlim22220220kkxkkxyxxyxkxyx与k有关,故不存在.【例2】2201)ln(limyxexyyx计算初等函数.(1,0)定义域内点.连续.代入法【例3】2322222200)(sinlimyxyxyxyx求换元,化为一元函数的极限机动目录上页下页返回结束5/51【阅读与练习】求下列极限;)0()sin(lim)1(0axxyayx;)11(lim)2(222yxxayxx;)sin1(lim)3(100xyyxxy【解】)sin(lim)1(0ayxyxyayx原式1])11[(lim)2(022exyxxxayx原式])sin1[(lim)3(sinsin100exyxyxyxyyx原式【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧4422lim)4(yxyxyx机动目录上页下页返回结束6/51【例4】【解】222limxyxxyyx求由于22221||2||022xxxxyxyyxxy且021lim2xx故原极限=0——夹逼准则0lim22224422yxyxyxyxyx原式,214422yxyx0)11(limlim222222xyyxyxyxyx(4)【法Ⅰ】【法Ⅱ】0220,4444444422yxyxyxyxyxyx——夹逼准则机动目录上页下页返回结束7/51二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类1.一般来说，讨论二元函数z=f(x,y)在某点的连续性、可偏导性以及可微性时，都要用相应的定义判定；尤其是分段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义判断.［连续］),(),(lim0000yxfyxfyyxx［可偏导］hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0000000［可微］0]),(),([lim),(0000000yyxfxyxfzyxyx可微点220000)()(,),(),(yxyxfyyxxfz其中内含三条，缺一不可包括高阶偏导数定义等机动目录上页下页返回结束8/51如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导数，记作xz，xf，xz或),(yxfx.2.【二元函数在区域内的偏导数】同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.机动目录上页下页返回结束9/51偏导数的概念可以推广到二元以上函数如u=f(x,y,z)在(x,y,z)处,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz3.【多元函数的偏导数】机动目录上页下页返回结束10/514.【偏导数的几何意义】,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM如图机动目录上页下页返回结束11/51xyz),(00yx0MxTyTo0x0y0M00),(yyyxfz00),(xxyxfz机动目录上页下页返回结束12/51偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy所截的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率【5.几何意义】.tan.tan?)5,4,2(44.522的倾角是多少轴处的切线对于在点曲线xyyxztan)5,4,2(xz机动目录上页下页返回结束13/51【例1】【解】,0,00,),(2222222yxyxyxyxyxf设)0,0(),(？处是否连续在点问yxf2220000lim),(limyxyxyxfyxyx00222yyxyx)0,0(0),(lim00fyxfyx.)0,0(),(处是连续的在点即yxf机动目录上页下页返回结束14/51【例2】求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．【解】xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.72213机动目录上页下页返回结束15/51【例3】设yxz)1,0(xx，求证zyzxxzyx2ln1.【证】xz,1yyxyz,lnxxyyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxx.2z原结论成立．【证完】机动目录上页下页返回结束16/51例4.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:xz222)1,2(,)1,2(eyzexz例5.计算函数的全微分.解:udyz,yxeyyxex机动目录上页下页返回结束?机动目录上页下页返回结束17/51作业p100同济p62,p69机动目录上页下页返回结束18/51三、关于高阶偏导数、全微分计算的题类),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数按变量的不同分为以下两类：①［二阶纯偏导数］②［二阶混合偏导数］1.【高阶偏导数的定义】,),(2yxfyxzxzyxy(1)若),(yxfz的一阶偏导数),(yxfxzx，),(yxfyzy的偏导数仍存在，则称它们是函数),(yxfz的二阶偏导数.机动目录上页下页返回结束19/51【定义式】xyxfyxxfyxfxxxxx),(),(lim),(0yyxfyyxfyxfxxyxy),(),(lim),(0其余类推(2)同样可得：三阶、四阶、…、以及n阶偏导数。(3)【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。【例1】设13323xyxyyxz，求二阶偏导数及33xz.【解】xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz,62yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx机动目录上页下页返回结束20/51【例2】设byeuaxcos，求二阶偏导数.【解】,cosbyaexuax;sinbybeyuax,cos222byeaxuax,cos222byebyuax,sin2byabeyxuax.sin2byabexyuax机动目录上页下页返回结束21/51yxe22例3.求函数yxez2.23xyz解:xz22xz)(223xyzxxyzyzxyz2yxz222yz注意:此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24机动目录上页下页返回结束的二阶偏导数及机动目录上页下页返回结束22/51【定理】若),(yxfz的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域D内连续，则在D内这两个二阶混合偏导数必相等．(4)【问题】具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？即混合偏导数与求导次序无关.机动目录上页下页返回结束23/51③2.【多元复合函数求导法则】(1)【可导充分条件】内层函数偏导存在,外层函数偏导连续(2)【复合函数求导链式法则】①全导数dtdvvzdtduuzdtdzuvxzxyy②xvvzxuuzxzyvvzyuuzyzuvtzt),,(yxufzyxuyxxuufxfxzyuufyfyz机动目录上页下页返回结束24/51例1.设,,,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解:xzveusinyzveusinxvvzveucosyvvzveucos11zvuyxyx机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束25/51【例2】【解】.,0,0,求一阶偏导设yxxuzy;1zyzxyxu);)((ln1zyzyxxyuz)(ln)(lnyyxxzuzyz【注意】)(zyyzzyxxx机动目录上页下页返回结束26/51例3.,sin,),,(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yxcos2机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束27/51【例4】【解】，具有二阶连续偏导数设)(),,(3fxyxyfxz)1(213xfxfxyz,2214fxfx)1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz,222123115fxfxfx【分析】抽象函数无中间变量,引入记号f1,f12等.xyzyxz222)]([4221211413xfxyfyfxfx)(2214fxfxx.2422114213fyfyxfxfx.,,222yxzyzyz求)]([222212xyfyfx机动目录上页下页返回结束28/51为简便起见,引入记号,,2121vuffuff例5.设f具有二阶连续偏导数,求.,2zxwxw解:令,,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufwzyf2),(2zyxzyxfzy则zxw222221211)(fyfzyxfzxyfyxf12yxf2221,,ff机动目录上页下页返回结束作业p100同济p69,p75机动目录上页下页返回结束29/513.【全微分】全微分＝各偏微分之和u,v是自变量或中间变量4.【隐函数的求导法则】(1)［公式法］(2)［推导法］(直接法)