数学建模5香烟过滤嘴的作用

香烟过滤嘴的作用问题烟草公司普遍地在香烟尾部装上一截过滤嘴，但是过滤嘴的作用有多大，和使用的材料有什么直接的关系？在这一段中，我们建立相应的数学模型来具体讨论这个问题。分析吸烟时毒物吸入人体的过程大致为：由于毒物基本上均匀地分布在烟草中，吸烟时点燃的烟草大部分化为烟雾，毒物由烟雾携带一部分直接进入空气，另一部分沿香烟穿行，在穿行过程中又部分地被未点燃的烟草和过滤嘴吸收而沉淀下来，剩下的进入人体。被烟草吸收而沉淀下来的那一部分毒物，当香烟燃烧到那里的时候又通过烟雾部分进入空气，部分沿香烟穿行，这个过程一直到香烟燃烧到过滤嘴处为止。在整个过程中，原来分布在烟草中的毒物除了进入空气和被过滤嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人体吸入.模型假设1.烟草和过滤嘴的长度分别是，毒素（毫克）均匀地分布在烟草中，密度为1,llM01/.wMl2.点燃处的毒物随烟雾进入空气和沿烟草穿行的数量比例是:,1.3.未点燃的烟草和过滤嘴对烟雾穿行的毒物的吸收率分别是常数,.b4.烟草沿香烟穿行的速度是常数香烟的燃烧速度是常数且,v.u.vu将一支烟吸完后毒物进入人体的总量记为常识告诉我们，量与过滤嘴的吸收率、烟草中毒物的初始含量有关，因此降低的含量及降低烟雾在香烟总的穿行速度都是降低吸入量的有效方法。,QQQ模型建立xxxx1llqxqxx设在时刻及处点燃香烟，为此建立相应的坐标系统：吸入毒物量由毒物穿过香烟的流量确定，后者又与毒物在烟草中的密度有关，为此定义函数：0t0xQ毒物流量表示在时刻时单位时间通过香烟截面处的毒物量；,qxttx0xl毒物密度表示时刻截面处单位长度烟草中的毒物含量。,wxttx如果知道了流量函数，吸入的毒物流量就是处的流量在吸一支烟时间内的总和。即,qxtQxl下面分4个过程来计算值。Q10,,/.TQqxtdtTlu⑴1.在瞬间由烟雾携带的毒物在单位时间内通过处的数量由假设4知在香烟点燃处静止不动。0tx,0,qx,vu0x记考察所对应的一段香烟，毒物通过和处的流量分别是和则根据守恒定律，这两个流量之差等于这一段未点燃的烟草或过滤嘴的毒物的吸收量，由假设2及4，有,0,qxqx,xxxxxxqx,qxx110,bqxxlqxqxxqxlxl其中是烟雾穿过长度为的这一段香烟所需要的时间，令则有微分方程：xvx0,1010lim.xbqxxlqxxqxdqvbdxxqxlxlv⑵在处点燃的烟草单位时间内放出的毒物量记作0x根据假设1、3、4，则可得微分方程2的初始条件为求解微分方程⑵。首先由方程及初始条件00,dqbqxdxvqaH方程的通解为再由初始条件得从而得到方程的解为,bxvqxCe0.CaH0000,.qaHHuw⑶0,0.bxvqqxaHexl对于方程及初始条件110,blvdqqxdxvqlaHe同样可得方程的解为1101,.xlblvvqxaHeelxl即方程的解可以表达为1101010,,.bxvxlblvvaHexlqxaHeelxl⑷2.在香烟燃烧的任何时刻求毒物在单位时间内通过的数量,txl,.qltt因为在时刻时，香烟燃至处，记此时点燃的烟草在单位时间放出的毒物量为则xut,Ht仿1可得,.Htuwutt⑸11110,,,.bxutvblutxlvvaHtexlqxtaHteelxl⑹3.确定,wxt由于在吸烟过程中，未点燃的烟草不断得吸收烟雾中的毒物，所以毒物在烟草中的密度由初始值逐渐增加。考察烟草截面处在时间内毒物密度的增量根据守恒定律它等于在单位长度烟雾中的毒物被吸收的部分，由假设4，则有,wxt0wtx,,,wxxtwxt,,,,qxtwxttwxtbtv令并将⑸、⑹代入得方程0,t0,,0.bxutvwabuwuttetvwxw此方程为偏微分方程，该方程的解为00,1.,1bxbutabutvvvabutvawxtweeeawwuttaea⑼其中（由假设2）1.aa4.计算Q将⑼代入⑺中，得120,.blblbutabutvvvvauwqlteeeea⑽最后将⑽代入⑴式作定积分得：21100,1.blabllvvauwQqltdteeab⑾为便于对结果的分析，将上式写成1211,allvveQaMeablv⑿记则⑿式可写成11,,rablerrvr2.lvQaMer⒀式即是我们需要的最终，该式表达了吸入量与等因素之间的关系。Q,,aM21,,,,lvbl结果分析1.与烟草含毒物量、毒物随烟雾沿香烟穿行比例成正比。可以设想为将毒物集中在处，则吸入量为QMaMxl.aM2.因子体现了过滤嘴对减少毒物进入人体的作用，提高过滤嘴的长度及吸收率降低穿行速度也可降低吸入量。2lve2,l.vr3.因子表示的是未点燃的烟草对毒物的吸收而起到的减少的作用。Q211.2lvablQaMev根据实际数据有则11,ablrv4.比较为了比较过滤嘴的作用，取两支香烟作比较，两支香烟的长度均为一支带过滤嘴，长度为吸入量分别为则有.l2.l12,.QQ212.blvQeQ可见只要过滤嘴就体现了相应的作用。b