数学建模――回归分析模型

在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型KeepfocusedFollowme—Jiang在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型•回归分析概述•几类回归分析模型比较•一元线性回归模型•多元线性回归模型•注意点在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型回归分析名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题等。几类常用的回归模型：一元线性回归线性回归多元线性回归非线性回归有何区别与联系？在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型回归模型方程式自变量（仅从形式上）线性回归一元线性回归一元一次多元线性回归多元一次非线性回归(暂不说明)多元多次及其他函数形式.eg,ykxbxR112201122...,2,nniiiKKiiykxkxkxnkRYXXXu1231exp()()xYLogistic模型在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型一元线性回归模型——模型随机变量（因变量）与实际变量（因变量）存在着某种相关关系。现对做正态假设确定这种关系为：其中为未知参数，与无关。上式等价于这就是一元线性回归模型，为回归系数。是随机误差，是人们不可控制的。Yx2~(,)YNabx2,,abx2,~(0,)YabxNb2~(0,)NY在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型一元线性回归模型——估计方法：最小二乘法求解：对取不全相同的值做独立实验，得到样本。记第组实验的误差，使总误差尽量小，即下式有最小值：x1122(,),(,),...,(,)nnxYxYxYii2211()nniiiiiyabx2,,abiyiiixbayˆˆˆ在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型一元线性回归模型——估计令其偏导数为零，求得最大似然估计为：这样我们就求得了未知参数的值，我们记为关于的经验回归方程，简称回归方程，其图形为回归直线。上面右式为计算公式，越小，用一次线性函数研究随机变量与的关系就越有效。121()()ˆ()ˆˆniiiniixxyybxxaybx2,,abˆˆˆyabx,ab2ˆˆniiiyyn211()222在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型一元线性回归模型——线性假设的显著性检验必要性：上面我们假设关于的回归形式是否为线性函数需要检验，称为拟合优度检验方法：相关系数法（还有其他方法）样本相关系数如右式。为相关系数。与无关系，不相关存在相关关系niiniiniiiXYyynxxnyyxxnR12121)(1)(1))((1ˆ]1,1[yyxxxylllRRˆˆ0,Ryaˆ1,yyxxlRblyx线性相关关系显著线性相关关系不显著判别准则接近1接近0||R||R线性相关关系显著接近1接近0线性相关关系显著接近1接近0线性相关关系显著接近1线性相关关系不显著接近0线性相关关系显著接近1||R||R当︱R︱＞Rα(n2),（通常取0.8）认为X与Y之间的线性相关关系显著，反之，则不显著线性相关关系不显著接近0线性相关关系显著接近1线性相关关系不显著接近0线性相关关系显著接近1Yx||R||R在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型一元线性回归模型——应用举例在研究机器工作效应时，测得工作时间与出品率如下表所示，求出品率关于工作时间的回归方程并作拟合优度检验。工作时长10111213141516171819出品率45515461667074788589在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型解：12110,14.5,67.3()()398.5ˆ4.830382.5()ˆˆ67.34.830314.52.7394niiiniinxyxxyybxxaybxˆ4.83032.7394yx0.9981xyxxyylRll所以回归方程为：相关系数值为：相关系数接近1，说明随机变量与x具有显著的相关性，线性回归的拟合度较高，检验通过请同学将结论与实际问题结合，分析工作时长与出品率的关系，并预测20小时和6小时时的出品率？时间趋于无限大呢？在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型一元线性回归的Excel实现（1）将数据导入Excel工作表；（2）工具栏中选插入—图表—XY散点图；（3）选择数据区域，填写标题、图例等内容，完成；（4）右击散点图—选添加趋势线—线性（类型）—在选项中选显示公式和R平方值。此时作出了回归图并求得方程；（5）在工具栏中选工具—数据分析—找到回归并确定—选择数据区域、输出数据区域，勾选置信度残差、标准残差、线性拟合图。此时得到几个表格，可查得回归系数、常数项及R平方值。请同学用Excel完成上面的例题Excel是做一元线性回归的其中一种软件，还有Spss，Matlab都可以做在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型多元线性回归模型——模型现实生活中，一个变量往往受到多个因素的影响，假设有个因素，称为解释变量，这种多个解释变量与因变量构成的这种关系称为多元线性关系，由这种关系构成的函数关系式称为多元线性回归模型，其一般式如下：称为回归系数。111211012122221212111kknnnknknYXXXuYXXXuYXXXu矩阵形式(1,2,...,)jjkn01122,1,2,...,iiiKKiiYXXXin在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型多元线性回归模型——估计方法：最小二乘法基本思想：寻找实际值与拟合值的离差平方和最小的回归直线。由于参数未知，需要样本回归函数，如下所示：类比一元线性回归模型为使误差最小,这里称为残差，则下式取最小值，ikiKiiiiieXXXeYYˆˆˆˆˆ221102110122)ˆˆˆ()ˆ(kikiiniiiiXXYYYeQ残差平方和j在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型多元线性回归模型——估计令上式对的偏导数为零，得到正规方程组，用线性代数的方法求解，求得值为：j其中为矩阵形式，具体如下：Qj1ˆ()TTXXXY11121012122221121...1...ˆ,,..................1...ppkkkkkpxxxyxxxyXYyxxxˆ,,XY在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型多元线性回归模型——线性假设的显著性检验必要性：与一元线性回归模型类似，多元线性回归模型也需要进行拟合优度检验。样本观测值和回归函数因变量满足关系：可决系数（判定系数）为:可决系数越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。通常可决系数大于0.80即判定通过检验。模型检验还有很多方法，以后会逐步接触222ˆˆ()()()iiiiYYYYYYTSSESSRSS2R22211()iieESSRSSRTSSTSSYY在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型多元线性回归模型—应用实例例2某厂生产的一种电器的销售量与竞争对手的价格和本厂的价格有关。下表是该商品在10个城市的销售记录。1x2x1x2xy元120140190130155175125145180150元10011090150210150250270300250个10210012077469326696585请建立销售量与两个价格之间的关系，并进行检验在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型解：分别画出y与x1，y与x2的散点图，判断关系，可以看出y与x2可以看出有线性关系，而y与x1关系较为复杂，现假设关系为：01122yxx1301401501601701801902040608010012010015020025030020406080100120在生活中竞赛，在竞赛中生活编写如下Matlab程序：x1=[120140190130155175125145180150]';x2=[10011090150210150250270300250]';y=[10210012077469326696585]';x=[ones(10,1),x1,x2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);b,bint,stats结果：stats=0.65276.57860.0247R平方值为0.6527，不接近1，p=0.0247，在时模型失效进一步讨论采用二次函数形式：0.012222211122110xxxxy在生活中竞赛，在竞赛中生活编写如下Matlab程序：x1=[120140190130155175125145180150]';x2=[10011090150210150250270300250]';y=[10210012077469326696585]';x=[x1x2];rstool(x,y,'purequadratic')得到回归系数为：beta=-312.58717.2701-1.7337-0.02280.0037rmse=16.6436这时的剩余残差为16.6436，已经达到最小，所以此时回归方程可用。在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型注意回归分析模型主要用于分析几个变数之间的相关关系，定量的给出数学表达式，即回归方程，同时对未知量作出预测，因果分析或寻找最值情况，根据变量个数灵活选取；由于模型最初是对变量关系的一种假设，必须要做显著性检验；用回归分析解决问题时不仅仅是得到方程式，要结合问题对结果进行分析，升华成结论。在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型多元线性回归回归系数的确定（1）偏导数为零kjeQjij，，20ˆ)(ˆ2（2）得到正规方程组011221111201112121111111101122111....................................................nnnniikikiiiiinnnnniiiikiikiiiiiiinnnikikiikiiiikxxxyxxxxxxxyxxxxx2111knkikikiiixxy在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型（3）用矩阵式求解111102111111111211111...........................nnniikiiiinnnniiiikiiiiiiknnnnikikiikipiiiiinxxyxxxxxyxxxxxyTTXXXY1ˆ()TTXXXY在生活中竞赛，在竞赛中生活数学建模——回归分析模型Thankyou