高数有理分式积分法

第四节1•基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法•初等函数求导初等函数积分机动目录上页下页返回结束一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:第四章有理函数rationalfunction真分式properfraction假分式improperfraction一、有理函数的积分3)()()(xQxPxRnnnaxaxa110有理函数:nm时,为假分式;nm时,为真分式.机动目录上页下页返回结束简单分式:形如kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk的分式.(其中A、a、M、N、p、q为常数)定理.任何一个真分式4机动目录上页下页返回结束()()PxQx(),()PxQx(无公因子)都可分解成若干个简单分式之和,并且(1)若Q(x)=0有k重实根a(即把Q(x)在实数范围内因式分解,含有因子),则分解时必含有以下的分式:()kxa122()()()kkAAAxaxaxa其中12,,kAAA为待定系数.(2)若Q(x)=0有一对k重共轭复根,和(即把Q(x)在实数范围内因式分解,含有因子),则分解时必含有2()kxpxq11222222()()()kkkBxCBxCBxCxpxqxpxqxpxq其中11,,,kkBBCC为待定系数.2()()xpxqxx5机动目录上页下页返回结束根据上述的结论,一个真分式()()PxQx都可分解成若干个简单分式之和,而这些简单分式不外乎为以下四种类型:(1)Axa(2)(2,3,4)()kAkxa22(3)(40)AxBpqxpxq22(4)(40,2,3,4)()kAxBpqkxpxq于是,求任何一个真分式的不定积分问题,也就转化为求以上四种类型的不定积分.6机动目录上页下页返回结束求四种类型的不定积分：(1)Adxxaln||AxaC(2)()kAdxxa1()(2,3,4,)1kAxaCkk2(3)AxBdxxpxq2222()()22()()24ApBdxAdxpxqppxpxqxq22222ln()arctan244ABAPxpxpxqCqpqp7机动目录上页下页返回结束求四种类型的不定积分：2(4)()kAxBdxxpxq2222()()22()[()()]24kkApBdxAdxpxqppxpxqxq21()2(1)kAxpxqk2ptx24paq22()2()kApdtBtakI上一节例91222211212()21arctankkntnIInatanatICaa四种类型的不定积分都为初等函数8机动目录上页下页返回结束有理函数的不定积分：有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和结论:有理函数的不定积分为初等函数.例1.将下列真分式分解为部分分式:9解:(1)用拼凑法22)1()1(1xxxx2)1(1x)1(1xx2)1(1x)1(xx2)1(1x11xx1)1(xx)1(xx机动目录上页下页返回结束(2)用赋值法106532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x机动目录上页下页返回结束(3)混合法11)1)(21(12xxxA2121xCBx原式)21(xA21x54机动目录上页下页返回结束C541215461CB52B51C原式=x214512112xx例2.求12解:已知)1)(21(12xx51x214212xx211xxx21)21(d52原式221)1(d51xx21d51xxx21ln52)1(ln512xCxarctan51例1(3)目录上页下页返回结束例3.求13解:原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2()1()1d(3xxCx21arctan23思考:如何求机动目录上页下页返回结束提示:变形方法同例3,并利用上一节课件例9.例4.求14机动目录上页下页返回结束解:令得1,1,1.ABC∴原式21111(1)1dxxxx11ln11xCxx223(1)(1)1(1)1xABCxxxxx23d.(1)(1)xxxx例5.求15xxxd)4)(1(22)4()1(22xxxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解:机动目录上页下页返回结束说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例6.求16解:原式xxxd)22(22)22(2xx)22(x1)1(d2xx222)22()22d(xxxx)1arctan(x2212xxC机动目录上页下页返回结束例7.求17常规目录上页下页返回结束解:原式xxd14)1(2x)1(2x211d4xx(见P348公式21)2arctan2211xx21221ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx2)(2121xx)d(1xx注意本题技巧按常规方法较繁例.求解:令xxsincos3xBAxBAsin)(cos)(比较同类项系数3BA1BA,故2,1BA∴原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln说明:此技巧适用于形为xxdxcxbxadsincossincos的积分.)sin(cos)sin(cosxxBxxAxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcBxdxcA二、可化为有理函数的积分举例20设表示三角函数有理式,xxxRd)cos,(sin令2tanxt万能代换t的有理函数的积分机动目录上页下页返回结束1.三角函数有理式的积分则例8.求21.d)cos1(sinsin1xxxx解:令,2tanxt则机动目录上页下页返回结束222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd12222xxxxd)cos1(sinsin12121tt212tt)1(2211ttttd212tttd122121221tt2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21机动目录上页下页返回结束例9.求23解:原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC说明:通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时,xttan往往更方便.的有理式用代换机动目录上页下页返回结束例10.求24.)0(d)cossin(12baxxbxa解法1xttan令原式dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos机动目录上页下页返回结束例10.求25xbxacossin)0(d)cossin(12baxxbxa解法2cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222xxbaCxba)tan(122Cbaxba)arctantan(122机动目录上页下页返回结束例11.求26.dsinsin1cos2cos423xxxxx解:因被积函数关于cosx为奇函数,可令,sinxt原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1)1(sin4221d)1(tttt3)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind机动目录上页下页返回结束2.简单无理函数的积分27,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:机动目录上页下页返回结束,d),,(xbaxbaxxRmn,pbxat令.,的最小公倍数为nmp例12.求28.21d3xx解:令,23xu则原式u123uuduuud11)1(32uuud)111(33221uuu1lnC机动目录上页下页返回结束例13.求29解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,,6tx则有原式23ttttd65ttttd)111(626331t221ttt1lnC令机动目录上页下页返回结束例14.求30.d11xxxx解:令,1xxt则原式tt)1(2tttd)1(222tttd1222t211lnttC机动目录上页下页返回结束内容小结311.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动目录上页下页返回结束简便,思考与练习32如何求下列积分更简便?解:1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612.原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121机动目录上页下页返回结束作业33P2181-24第五节目录上页下页返回结束34备用题1.求不定积分解：令则,故161t551tt机动目录上页下页返回结束分母次数较高,宜使用倒代换.1,tx621d.(1)xxx621d(1)xxx21()dtt531111arctan53Cxxxx352.求不定积分解：原式=前式令2arctan21u;后式配元)2tan21arctan(21x机动目录上页下页返回结束1sind.3cosxxxln3cosxln3cosxCln3cosxC2tanxu22d1uu221113uu