高数极值与最值

二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第五节函数的极值与最大值最小值oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x一、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小值点,称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.注意:3x1x4x2x5xOxaby41,xx为极大值点52,xx为极小值点3x不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如,为极大值点,是极大值是极小值为极小值点,函数12xOy12设函数f(x)在x0处连续且在(x0-δx0)(x0x0+δ)内可导(1)如果在(x0-δx0)内f(x)0在(x0x0+δ)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极大值(2)如果在(x0-δx0)内f(x)0在(x0x0+δ)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极小值(3)如果在(x0-δx0)及(x0x0+δ)内f(x)的符号相同那么函数f(x)在x0处没有极值定理2(第一充分条件)x1x2x3x4x5“左正右负”“左负右正”确定极值点和极值的步骤(1)求出导数f(x)(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f(x)的符号(4)确定出函数的所有极值点和极值设函数f(x)在x0处连续且在(x0-δx0)(x0x0+δ)内可导(1)如果在(x0-δx0)内f(x)0在(x0x0+δ)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极大值(2)如果在(x0-δx0)内f(x)0在(x0x0+δ)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极小值(3)如果在(x0-δx0)及(x0x0+δ)内f(x)的符号相同那么函数f(x)在x0处没有极值定理2(第一充分条件)例1.求函数的极值.解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx2)求极值可疑点令,0)(xf得;521x令,)(xf得02x3)列表判别x)(xf)(xf0520033.0)0,(),0(52),(52是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为证:(1))(0xf00)()(lim0xxxfxfxx0)(lim0xxxfxx,0)(0知由xf存在,0,00时当xx时，故当00xxx;0)(xf时，当00xxx,0)(xf0x0x0x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2)类似可证.定理3(第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f(x0)0f(x0)0那么(1)当f(x0)0时函数f(x)在x0处取得极大值(2)当f(x0)0时函数f(x)在x0处取得极小值定理3(第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f(x0)0f(x0)0那么(1)当f(x0)0时函数f(x)在x0处取得极大值(2)当f(x0)0时函数f(x)在x0处取得极小值应注意的问题：如果f(x0)0f(x0)0则定理3不能应用但不能由此说明f(x0)不是f(x)的极值。讨论：函数f(x)x4g(x)x3在点x0是否有极值？例2.求函数的极值.解:1)求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22xxxf2)求驻点令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx3)判别因,06)0(f故为极小值;又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别.1xy1O观察与思考：观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点怎样求函数的最大值和最小值二、最大值与最小值问题x1x2x3x4x5Mm闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极值点处取得函数在闭区间[ab]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者极值与最值的关系x1x2x3x4x5Mm最大值和最小值的求法(1)求出函数f(x)在(ab)内的驻点和不可导点设这此点为x1x2xn(2)计算函数值f(a)f(x1)f(xn)f(b)(3)判断:最大者是函数f(x)在[ab]上的最大值最小者是函数f(x)在[ab]上的最小值最大值maxM,)(af)(bf最小值特别:•当在内只有一个极值可疑点时,•当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)•对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小))1292(2xx1224)9(209681012922xx)(xxf041x250x041x250x例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然且,)1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx2,1,0321xxx故函数在0x取最小值0;在1x及25取最大值5.,)2)(1(6xx,)2)(1(6xx412512xyO因此也可通过例3.求函数说明:)()(2xfx)(x求最值点.)(xf与最值点相同,由于)(x令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.例4工厂C与铁路线的垂直距离AC为20kmA点到火车站B的距离为100km欲修一条从工厂到铁路的公路CD已知铁路与公路每公里运费之比为3:5为了使火车站B与工厂C间的运费最省问D点应选在何处？DC20kmAB100km解x2400xCD设ADx(km)y5kCD3kDB(k是某个正数)即)100(340052xkxky(0x100)B与C间的运费为y则DB100x由)34005(2xxky0得x15其中以y|x15380k为最小因此当AD15km时运费最省由于y|x0400ky|x15380k2100511500|kyx例4工厂C与铁路线的垂直距离AC为20kmA点到火车站B的距离为100km欲修一条从工厂到铁路的公路CD已知铁路与公路每公里运费之比为3:5为了使火车站B与工厂C间的运费最省问D点应选在何处？由)34005(2xxky0得x15y5kCD3kDB(k是某个正数)即)100(340052xkxky(0x100)解设ADx(km)B与C间的运费为y则解261bhW)(6122bdb(0bd)261bhW)(6122bdb(0bd)由0)3(6122bdW得函数的唯一驻点db310由0)3(6122bdW得函数的唯一驻点db310所以当db31时抗弯截面模量W最大这时dh32所以当db31时抗弯截面模量W最大这时dh32把W表示成b的函数:函数在唯一驻点b0处一定取得最大值由Wb0知例5把直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁问矩形截面的高h和宽b应如何选择才261bhW能使梁的抗弯截面模量W()最大?F用开始移动,例6.设有质量为5kg的物体置于水平面上,受力F作解:克服摩擦的水平分力正压力cosF)sin5(Fg即,sincos5gF],0[2π令sincos)(则问题转化为求)(的最大值问题.设摩擦系数问力F与水平面夹角为多少时才可使力F的大小最小?Psincos)(令解得,0)(而因而F取最小值.解:即令则问题转化为求的最大值问题.,sincos5gF],0[2πsincos)()(FP清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例7.一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于x解:设观察者与墙的距离为xm,则x8.14.1arctan,8.1arctanx),0(x222.32.3x228.18.1x)8.1)(2.3()76.5(4.122222xxx令,0得驻点),0(4.2x根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最4.18.1存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.售出该产品x千件的收入是例8.设某工厂生产某产品x千件的成本是解:售出x千件产品的利润为)()()(xCxRxp6123)(2xxxp得令,0)(xp586.0221x问是否3)(xxC,1562xx,9)(xxRxxx6623,126)(xxp又,0)(1xp0)(2xp故在x2=3.414千件处达到最大利润,而在x1=0.586千件处发生局部最大亏损.y)(xp22Ox22)24(32xx414.3222x说明：在经济学中)(xC称为边际成本)(xR称为边际收入)(xp称为边际利润由此例分析过程可见,在给出最大利润的生产水平上,0)(xp即边际收入＝边际成本（见右图）22yOx22xxxxC156)(23成本函数xxR9)(收入函数)()(xCxR即收益最大亏损最大内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值(4)判别法的推广定理3定理3最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习2.连续函数的最值1.设,1)()()(lim2axafxfax则在点a处().)()(xfA的导数存在,；且0)(af)()(xfB取得极大值;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示:利用极限的保号性2.设)(xf在0x的某邻域内连续,且,0)0(f,2cos1)(lim0xxfx则在点0x处).()(xf(A)不可导;(B)可导,且;0)0(f(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:利用极限的保号性.3.设)(xfy是方程042yyy的一个解,若,0)(0xf且,0)(0xf则)(xf在)(0x(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:0)(4)(00xfxfA作业P1621(5),(9);2;3;5;10;14;15试问为何值时,axxaxf3sin31sin)(π32x在时取得极值,还是极小.解:)(xf由题意应有0π)(32f2a又)(xf时取得极大值：在2)(axf3π)(32f备用题1.π)(3cosπ)cos(3232a,3sin3sin2xx求出该极值,并指出它是极大即0121a上的在]1,0[)(xf试求，设Nnxxnxfn,)1()().(limnMn解:)(xf,0)(xf令])1(1[)1(1xnxnn2.nxn)1(1)1(nxnxn,)(由增变减通过此点时易判别xfx及最大值)(nM故所求最大值为1)1(nnn)11()(nfnM)(limnMn1e1)111(limnnn11nx