高数洛必达法则

目录上页下页返回结束三、其他未定式二、型未定式一、型未定式00第二节洛必达法则第三章目录上页下页返回结束函数之商的极限导数之商的极限转化(或型)本节研究:洛必达法则洛必达目录上页下页返回结束一、)()(lim)3xFxfax存在(或为))()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与aUxFxf定理1.型未定式00(洛必达法则)目录上页下页返回结束(在x,a之间)证:无妨假设,0)()(aFaf在指出的邻域内任取则在以x,a为端点的区间上满足柯故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limFfax)3定理条件:西定理条件,)()(lim)3xFxfax存在(或为),)()()()2内可导在与aUxFxf目录上页下页返回结束推论1.定理1中ax换为下列过程之一:,ax推论2.若)()(limxFxf理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.,x洛必达法则定理1目录上页下页返回结束例1.求解:原式型0023注意:不是未定式不能用洛必达法则!266lim1xxx166lim1x332x1232xxlim1x洛266lim1xxx洛目录上页下页返回结束例2.求解:原式xlim型00221limxxx1211x21x11lim21xx思考:如何求nnn12πarctanlim(n为正整数)?型洛目录上页下页返回结束二、型未定式)()(lim)3xFxfax存在(或为∞))()(limxFxfax定理2.)()(limxFxfax(洛必达法则),)()()()2内可导在与aUxFxf目录上页下页返回结束说明:定理中ax换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.,ax,ax,xx,x定理2目录上页下页返回结束例3.求解:原式11limnxxxnnxxn1lim0例4.求解:(1)n为正整数的情形.原式0xnxxnelim1xnxxnne)1(lim22.)0(elim,0nxxnx型型洛xnxne!lim洛洛目录上页下页返回结束例4.求.)0(elim,0nxxnx(2)n不为正整数的情形.nx从而xnxexkxexkxe1由(1)0elimelim1xkxxkxxx0elimxnxx用夹逼准则kx1kx存在正整数k,使当x1时,目录上页下页返回结束例4..)0(0elim,0nxxnx.)0(0lnlimnxxnx例3.说明:1)例3,例4表明x时,,lnx后者比前者趋于更快.例如,事实上)0(ex用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.目录上页下页返回结束3)若,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如,xxxxsinlim1cos1limxx)sin1(limxxx1极限不存在不能用洛必达法则!即目录上页下页返回结束三、其他未定式:解决方法:通分转化000取倒数转化0010取对数转化例5.求).0(lnlim0nxxnx型0解:原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx洛目录上页下页返回结束型.)tan(seclim2πxxx解:原式)cossincos1(lim2πxxxxxxxcossin1lim2πxxxsincoslim2π例6.求通分转化000取倒数转化0010取对数转化洛目录上页下页返回结束例7.求.lim0xxx型00解:xxx0limxxxln0elim0e1利用例5例5通分转化000取倒数转化0010取对数转化目录上页下页返回结束例8.求.sintanlim20xxxxx解:注意到原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31型00洛目录上页下页返回结束例3nn1nnln1e1例9.求.)1(limnnnn2111limxxxx原式＝法1.直接用洛必达法则.型0下一步计算很繁!21limnn法2.利用例3结果.)1(lim121nnnn1eln1nn21limnnnnln121lnlimnnn0uu~1e原式例3例3目录上页下页返回结束内容小结洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111fggflne目录上页下页返回结束思考与练习1.设)()(limxgxf是未定式极限,如果)()(xgxf是否)()(xgxf的极限也不存在?举例说明.极限不存在,说明3)原式xxxxx120cossin3lim21xxx~)1ln(0时，)03(2123分析:说明3)2cos1x目录上页下页返回结束分析:203cos1limxxx30limxx3.原式xsin～x1coslim0xxxxsin222103limxxxxcos1～221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim洛目录上页下页返回结束,1xt则2011221limtttt4.求解:令原式tt2lim021)21(t21)1(t2)1()21(lim2323210ttt41洛洛目录上页下页返回结束作业P1381(6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),第三节目录上页下页返回结束求下列极限:];)11ln([lim)12xxxx解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220xxxxxxx;e1lim)2211000xxx])11ln([lim)12xxxx)1(2lim0tttt备用题ttt21lim11021)1(xt令洛目录上页下页返回结束,12xt则tttelim50原式=50limettt0ttte50lim49211000e1lim)2xxx解:令tte!50lim(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)目录上页下页返回结束xxxxxcossec])1ln[(lim2220xxxxxcossec)1(lnlim420xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220xxxxxxxxxxxxcossec)1ln()1ln(lim)3220解:原式=342xxxxtansec第三节洛uuu~)1ln(0时