高数知识点总结1-7

第一章函数与极限一、函数1.特性有界性,单调性,奇偶性,周期性2.反函数3.复合函数4.初等函数二、极限1.极限定义的等价形式(以为例)0xx(即为无穷小)Axf)(有第一章函数与极限2.极限存在准则及极限运算法则3.无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:sin~,xx211cos~,2xxarcsin~,xxe1~,xx(1)1~.xx第一章函数与极限4.两个重要极限或注:代表相同的表达式第一章函数与极限总结：求极限的方法1.利用极限的定义第一章函数与极限5.夹逼准则(数列极限)3.四则运算法则2.利用单调有界必有极限(数列有界)4.利用函数的连续性第一章函数与极限8.利用洛必达法则10.利用定积分的定义9.利用泰勒公式6.利用两个重要极限7.等价无穷小的转化三、连续与间断1.函数连续的等价形式)()(lim00xfxfxx000,()()xxxyfxxfx令0lim0yx)()()(000xfxfxf,0,0,0时当xx有)()(0xfxf第一章函数与极限2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.闭区间上连续函数的性质第一章函数与极限第二章导数与微分一、导数和微分的概念及应用•导数:当时,为右导数当时,为左导数•微分:•关系:可导可微•应用:(1)利用导数定义解决的问题(3)求曲线的切线与法线(2)用导数定义求极限求分段函数在分界点处的导数由导数定义证明一些命题(4)微分在近似计算与误差估计中的应用第二章导数与微分第二章导数与微分二、导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数微分法(3)参数方程求导法极坐标方程求导转化导出第二章导数与微分(4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)(5)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法;利用莱布尼茨公式.第三章微分中值定理与导数的应用拉格朗日中值定理1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理柯西中值定理一、微分中值定理及其应用2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维，设辅助函数.一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数.(2)若结论中涉及含中值的两个不同函数，可考虑用柯西中值定理.第三章微分中值定理与导数的应用(3)若结论中含两个或两个以上的中值,必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理.(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.第三章微分中值定理与导数的应用第三章微分中值定理与导数的应用二、导数应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率2.解决最值问题•目标函数的建立与简化•最值的判别问题3.其他应用:求未定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.第四章不定积分一、求不定积分的基本方法1.直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法第一类换元法第二类换元法(代换:))(tx3.分部积分法dduvxuvuvx使用原则:1)由v易求出v;2)比xvud好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为u,排后者取为.v第四章不定积分二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式简单无理函数三角代换第四章不定积分2.需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,要注意综合,使用各种基本积分法,简便计算.(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,因此不一定都能积出.例如,,)10(dsin122kxxk第四章不定积分第五章定积分1.求定积分(常义积分和反常积分)定积分的定义定积分的几何意义定积分换元法定积分的分部积分法2.定积分中值定理第五章定积分4.变限函数的求导5.与定积分有关的求极限问题3.用定积分性质估值设,)(min,)(max],[],[xfmxfMbaba则)(ba定积分定义洛必达法则夹逼准则第六章定积分的应用一、平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程直角坐标方程上下限分别对应曲线的起点和终点课本P360-361:星形线、摆线、心形线、阿基米德螺线、双纽线第六章定积分的应用二、旋转体的体积2πbxaVydx1.曲线y=y(x)(a≤x≤b)绕x轴旋转2πbyaVxydx(柱壳法)2.曲线y=y(x)(a≤x≤b)绕y轴旋转第六章定积分的应用三、平行截面面积为已知的立体体积xxAVbad)(四、平面曲线的弧长22)(d)(ddyxs弧微分:注意:求弧长时积分上下限必须上大下小第六章定积分的应用2.参数方程方程1.直角坐标方程xysbad12xxfbad)(12tttsd)()(22第六章定积分的应用3.极坐标方程d)()(22rrs第七章微分方程一.微分方程的概念含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.微分方程的解：使方程成为恒等式的函数.通解:解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解:不含任意常数的解,其图形称为积分曲线第七章微分方程)1(00)1(0000)(,,)(,)(nnyxyyxyyxy—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):定解条件说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程y=–x及y=C第七章微分方程二、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解变量代换法代换因变量代换某组合式三个标准类型可分离变量方程齐次方程线性方程代换自变量第七章微分方程1.找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:(1)根据几何关系列方程(2)根据物理规律列方程2.利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.3.求通解,并根据定解条件确定特解.三.解微分方程应用题的方法和步骤