高数第十二章 微分方程

1第十二章微分方程1.微分方程的基本概念2.一阶微分方程:可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程;伯努利方程及解法；3.几类可降阶的高阶微分方程及其解法4.高阶线性微分方程解的结构5.二阶常系数线性微分方程及其解法2第一节微分方程的基本概念微分方程及微分方程的阶微分方程的解通解与特解初值问题3例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为x2,求这曲线的方程.解)(xyy设所求曲线为xdxdy2xdxy21,2xy且当时,2Cxy即,1C求得21.yx故所求曲线方程为一、问题的提出则有1,2xy将时代入上式，积分4例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,tssst米秒钟行驶设制动后4.022dtsd0,0,20,dstsvdt且时14.0Ctdtdsv2122.0CtCts由题设积分再积分5代入条件后知0,2021CC,202.02tts,204.0tdtdsv故),(504.020秒t列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米s开始制动到列车完全停住共需6定义：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程.例',yxy,0)(2xdxdtxt''2'3,xyyye,yxxz二、微分方程的定义都是微分方程.::未知函数是一元函数微分方程未知函数是多常微分方程偏微分方程元函数7微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.,0),,(yyxF一阶微分方程);,(yxfy微分方程组,2,23zydxdzzydxdy高阶(n)微分方程,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy(n阶显式微分方程)8微分方程的解:(),yxIn设函数在区间上有阶连续导数()(,(),'(),,())0.nFxxxx三、微分方程的解通解与特解I如果在区间上()yx则称是微分方程,0),,,,()(nyyyxFI在区间上的解.9通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.',yy例;xcey通解''0,yy;cossin21xcxcy通解特解:确定了通解中任意常数以后的解.微分方程的积分曲线:微分方程的解的图形.通解的图形叫积分曲线族.10三、初值问题利用初始条件,可用来确定通解中的任意常数.当自变量取定某个特定值时,给出未知函数及其导数的已知值,这种特定条件称为初微分方程的始条件.初值问题:求微分方程的满足初始条件的解的问题.11在例1中Cxy2通解:12xy特解:xxy2dd21xy初值问题：在例2中,00ts200ddtts4.022ddts初值问题：2122.0CtCts通解:tts202.02特解:12二阶微分方程的初值问题:0000''(,,')|,'|'xxxxyfxyyyyyy几何意义:求微分方程过定点的积分曲线.00(,)xy几何意义:求过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.00(,)xy0'y00'(,)|xxyfxyyy一阶微分方程的初值问题:13例3验证:函数ktCktCxsincos21是微分方程0222xkdtxd的解.当k≠0时,求满足初始条件0,00ttdtdxAx的特解.解,cossin21ktkCktkCdtdx,sincos221222ktCkktCkdtxd22,dxxdt将和的表达式代入原方程14.0)sincos()sincos(212212ktCktCkktCktCk12cossin.xCktCkt故是原方程的解,0,00ttdtdxAx.0,21CAC所求特解为.cosktAx15求该曲线所满足的微分方程.2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为QPQxyox解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即02xyy点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,思考题1.函数xey23是微分方程04yy的什么解?16第二节可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程微分方程的隐式通解17一、可分离变量的微分方程()()gydyfxdx5422yxdxdy例如4252,ydyxdx或可分则称离变该一阶微分方程为的量微分方程..就是可分离变量的微分方程一阶微分方程可以写成：18二、微分方程的隐式通解设微分方程()()gyfx和连续.()(1),yx如果是的解则有[()]'()()gxxdxfxdx[()]'()()gxxdxfxdx积分()()(1)gydy=fxdx()()gydyfxdx即19()()(),(),GyFxgyfx设和分别是的原函数则有()()(2)GyFxC()yx所以是(1)的解.,()(2),yx反之如果是由所确定的隐函数则(())()GxFxC'()'()'()GyxFx所以'()()'()'()()FxfxxGygy即()()()()dyfxgydyfxdxdxgy于是或20可分离变量的微分方程的解法()()(1)gydy=fxdx对于方程()()gydyfxdx积分()()()(),GyFxgyfx设和分别是和的原函数则(1).就是微分方程的解称为微分方程(1)的.隐式通解()()GyFxC2121.dyxydx求微分方程例的通解解分离变量,2xdxydy两端积分,2xdxydy21ln||yxC得2.xyCe所以为所求通解22211,xCCxxye=ee=Ce22,,(().)dyPxPxxdxy一般地对于形如的微分方程其中是的连续函数1()()PxdxCCeCe()dyPxdxy分离变量,得1ln||()yPxdxC积分1()PxdxCye所以通解为()PxdxyCe2322,,11yxdydxyx解由原方程得22,11yxdydxyx积分22111ln(1)ln(1)22yxC得22(1.+y=C+x所以1)即为所求隐式通解22(1)(1)0.x+ydxxydy求微分方程例的通解22122ln(1)1Cxyee2(1)Cx24例3衰变问题:铀的衰变速度与未衰变原子的含量M成正比,已知00MMt,求衰变过程中铀含量)(tM随时间t变化的规律.解,dtdM衰变速度由题设条件(0)dMdtM即为衰变系数,dMdtM00MMt代入1ln,MtCtMCe即00MCeC得teMM0衰变规律dMMdt25例4有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为,262.0ghSdtdVQ流量系数孔口截面面积重力加速度26cm100horhdhh)1(,262.0dtghdV设在微小的时间间隔],,[dttt水面的高度由h降至,dhh,2dhrdV则,200)100(100222hhhr)2(,)200(2dhhhdV比较(1)和(2)得:dhhh)200(2,262.0dtgh1S,cm2272(200)0.622,hhdhghdt即为未知函数h=h(t)应满足的微分方程.可分离变量的微分方程,)200(262.03dhhhgdt,)523400(262.053Chhgt,100|0th,101514262.05gC).310107(265.45335hhgt所求规律为28内容小结1.通解不一定是方程的全部解2.可分离变量方程的求解方法:0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件(初始条件)定常数.y=–x及y=C29(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:P263,5(2))2)根据物理规律列方程(如:例3)3)根据微量分析平衡关系列方程(如:例4)(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤30作业P2691(1),(5),(7),(9);2(1),(3);4;6