高数考研大一下下3

1第三讲重积分的计算法及其应用1.重积分计算的基本方法一.方法指导累次积分法逐次积分混合积分先一后二(穿针法)先二后一(切片法)二次积分三次积分（包括5-1，5-2，5-5部分）2具体注意以下几点•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限域边界应尽量多为坐标轴或面被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(由内到外:面,线,点)32.重积分计算的主要技巧(1)消去绝对值符号分区域积分利用对称性(2)利用对称性简化计算选取坐标系时要考虑对称性被积函数和积分域的对称性要匹配添加辅助线或面，化区域为对称利用形心公式简化计算(3)重积分的换元积分法batdttfxdxf)())(()(伸缩系数4二重积分的换元公式),(),(vuyyvuxx若Dyx),(Dvu),(0),(),(vuyxJ,且则dudvJvuyvuxfdyxfDD)],(),,([),(最常用的换元公式极坐标变换vyuyvxuxvuyx),(),(sin,cosryrx),(),(ryx广义极坐标变换rbaryx),(),(cossinsincosrrsin,cosrbyraxr5三重积分的换元公式(P309)若),,(zyx),,(wvu),,(),,(),,(wvuzzwvuyywvuxx且0),,(),,(wvuzyxJwzvzuzwyvyuywxvxuxwvuzyxJ),,(),,(则zdydxdzyxf),,(wdvdudJwvuF),,(其中),,(),,,(),,,(),,(wvuzwvuywvuxfwvuF6柱坐标变换最常用的换元公式cosrx,sinryzzrJ球坐标变换cossinx,sinsinycoszsin2J广义球坐标变换cossinax,sinsinbycosczsin2cbaJ73.重积分的应用(1)解决的问题:分布在平面域或空间域上具有可加性(2)解决的方法:微元分析法求微分表达式求积分表达式(3)主要应用问题:几何方面:面积,体积,形心物理方面:质量,转动惯量,质心,引力二.实例分析二重积分部分的整体量8附：将dyxfID,化成极坐标下的二次积分。0:.1222aayxDa200:arD200cos,sinaIdfrrrdrDx0yar902:.222aaxyxDcos2ar22cos20:arD2cos202cos,sinaIdfrrrdra2Dax0y222)(:ayaxD附：将dyxfID,化成极坐标下的二次积分。103.02:22bybyxDsin2br0sin20:brD2sin00cos,sinbIdfrrrdrb2bDx0y222)(:bbyxD附：将dyxfID,化成极坐标下的二次积分。11例1.计算,)1(2322DdyxyI其中(P281例3)解:1010dxI101021dxdxyx01221011dxxdxx21021021113122ln.10,10:yxDdyyxy2322)1(232222)1()1(yxyxd22221lnxaxax12例2.计算二次积分dyeydxedyeydxeIyxRRxyxxRR2222222202020解:作积分域如图.选用极坐标系oyx222sinrDrerdrd4003222cos1Rrrderd(P282例5(2))])1(1[16222ReR2RxyRD222()xyDIyed13例3计算ydxdyxID221.4,4:2222xyxyxD解：求曲线的交点xyxyx44222233cos42:rDcos42rrrddcos42302302cos42d30|2sin423434drrdrID132,121cosDxy0323114例4计算ydxdeyxxIyxD)(222;1:)1(22yxD(2)D由直线y=x,y=–1及x=1围成.(P286例7)解:(1)利用对称性,有ydxdyxID)(212221300124drdr(2),xy利用对称性,有yxo11D2D1DydxdxID2ydxdeyxDyx122ydxdeyxDyx2221211xxdxdy0032添加辅助线D,,21DD分为15例5.计算二重积分,222ydxdxyxD解:其中.4:22yxD利用对称性D1D2D分区域D为21,DD2oxy(如图),则ydxdxyxID)2(221ydxdyxxD)2(222ydxdxyxD)2(22ydxdyxxD)2(222220d203rdr014用形心公式204dcos203rdr84d204cos16916例6.计算221DIxyd12222(1)(1)DDxydxyd12222(1)2(1)DDxydxyd}10,10),({yxyxD122222(1)(1)DDIxydxyd，其中解法一：122(1)Dxyd112300212xdxrdr21134431oyx11D2D1122222()2DDDDxddxydd17例6.计算221DIxyd1220113xxdx21112222010(1)xxdxdyxxxdx}10,10),({yxyxD122222(1)(1)DDIxydxyd113200Dddrdr2(1)48384314，其中解法2令sinxt24201(sinsin)3ttdt131(1)3443161oyx11D2D22112012xDxdxdyd18D10yx13xy练习:ydxdyxfyxID)(122521ydxdxD(P467例4)1D2D19练习、区域D由曲线围成，（）；，故选择A、B、C、D、2012考研解20例7设D由xoy平面上以点(cossin)DCxyxydxdy、为顶点的三角形区域，D1是D的第一象限部分，则(P486例2)(cossin)Dxyxydxdy(1,1),(1,1),(1,1)()12cossinDAxydxdy、yxo11A0.D、12DBxydxdy、1DD21例821ln(1)ln2022r解:计算22221,:1,01DxyIdxdyDxyxxy2201DxyIdxdyxy2211DIdxdyxy1201rdrr(10年考研)22例9.设为连续函数，则(考研2001).A.B.C.DC22120(,)xxdxfxydy221200(,)xdxfxydy22120(,)yydyfxydx221200(,)ydyfxydx1400(cos,sin)()dfrrrdr(22,22)1yx221xy023例10设22(,)2,0,0,Dxyxyxy221xy221xy22[1].Dxyxydxdy表示不超过的最大整数，计算解法1221(,)1,0,0Dxyxyxy222(,)12,0,0Dxyxyxy22111(,)xyxyD，；22212(,)xyxyD22[1]Dxyxydxdy1Dxydxdy22Dxydxdy13200sincosdrdr4232012sincosdrdr181438记则有于是(考研2008)24例10.设(考研2008)22(,)2,0,0Dxyxyxy221xy221xy22[1].Dxyxydxdy表示不超过的最大整数，计算22[1]Dxyxydxdy4232200sincos[1]drrdr412330113(2)28rdrrdr解法225例11.解：因为(,)fxy(1,)0,(,1)0,(,)Dfyfxfxydxdya已知函数具有二阶连续偏导数，且:01,01DxyxyDxyfdxdy其中，计算。(1,)0,(,1)0,fyfx(1,)0,(,1)0,yxfyfx所以从而1100(,)xyxdxyfxydy1100(,)xxdxydfxy111000[(,)(,)]yxyxxyfxyfxydydx1100(,)xdyxfxydx111000[(,)(,)]xxxfxyfxydxdy1100(,)dyfxydxa(2011考研)26例12计算，其中区域D为曲线与极轴围成。2012考研解27练习、计算，其中D由曲线与及y轴所围成。2012考研解0xyyx1yx128例13设连续，则二次积分（）；解作图，得y的下界为,得y的上界为故排除将极坐标下的二重积分化为直角坐标系下的，故选择得被积函数为A、B、C、D、2012考研D二重积分，29例14求,)(22DydxdyxI其中.14:22yxD(P294例14)oyx211D解:令,则域D的原像为20,10:rD(,)(,)xyJrcossin1112sincos22rrr2222)cos31(41),(ryxyxf2211(13cos)42DIrrdrd2130011cos2(13)82drdr3252or1Dcosrxsin21ry30例15求,DIydxdy其中D由曲线与x,y轴所围区域.解:令22xauybv1,uv则积分区域D的原像为:01,01.Duvu2DIbvJdudv1123004uabuduvdv1byax(,0)ab(,)(,)xyJuvD1uvovu30)1(21042abduuuab20402auabuvbv31例16求,DxyxyydxdeI其中D为直线x+y=2与坐标轴所围区域.(P292例12)D2yxoyxuvuuvo2vD解:令xyvxyu)()(2121vuyvux则积分区域D的原像为.20,:vvuvD),(),(vuyxJ2121212121vdudJeIDvu