高数课件 第二章第一节 数列的极限

·无穷小与无穷大·极限存在准则·数列与函数的极限及其性质第二章极限与连续·连续函数及其性质数学语言描述:r第一节数列的极限(limit)引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.n如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S(刘徽割圆术),,0,N正整数当nN时,SAn用其内接正n边形的面积总有定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当nN时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:aa)(axan)(Nn即),(axn)(Nnaxnnlim或)(naxn1Nx2Nx则称该数列的极限为a,机动目录上页下页返回结束例如,,1,,43,32,21nn1nnxn)(1nnnxnn1)1()(1n,2,,8,4,2nnnx2)(n1)1(nnx趋势不定收敛发散例1.已知证明数列的极限为1.Proof:1nx1)1(nnn,0欲使即只要1n因此,取,]1[N则当Nn时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn例2.已知证明证:0nx2)1(1n11n,)1,0(欲使只要,11n即n取,]11[N则当Nn时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn故也可取][1N也可由2)1(10nnx.11N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.Remark:取11N例3.设,1q证明等比数列证:0nx欲使只要即亦即因此,取qNlnln1,则当nN时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0.SomeProblems为极限；必以，则数列〈中仅有有限项不满足数列若对于任意给定的为极限；必以，则数列〈满足有无穷多个时，总当存在自然数若对于任意给定的为极限；必以，则数列越接近越大时，若AuAuuAuAuuNnNAuAunnnnnnnnn}{}{,0.3}{,,0.2}{0.123ba22abnabax二、收敛数列的性质证:用反证法.及且.ba取因,limaxnn故存在N1,从而2banx同理,因,limbxnn故存在N2,使当nN2时,有2banx1.收敛数列的极限唯一.使当nN1时,假设22abnabbxnbax223ab从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,,,max21NNN取故假设不真!nx满足的不等式例4.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列nx收敛,则有唯一极限a存在.取,21则存在N,2121axan但因nx交替取值1与－1,),(2121aa内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当nN时,有因此该数列发散.2.收敛数列一定有界.证:设取,1,N则当Nn时,从而有aaxna1取,,,,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.,1axn有数列3.数列收敛于nxanx数列的奇子数列和偶子数列a21nx2nx都收敛于证:当nN时,当时,1nN当时,2nN取12max21,2,NNNnN当时，4.收敛数列的保号性.若且时,有,)0(.)0(证:对a0,取推论:若数列从某项起)0(.)0((用反证法证明)补充:三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，1lim2kkx发散!夹逼准则;单调有界准则;柯西审敛准则.则原数列一定发散.5.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.azynnnnlimlim)2(1.夹逼准则(准则1,TheSqueezeTheorem)(P35)),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证:由条件(2),,0,1N当时,当时,令,,max21NNN则当Nn时,有由条件(1)nnnzxyaa即,axn故.limaxnn,2N例5.证明证:利用夹逼准则.nnnnn222121122nn且22limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由2.单调有界数列必有极限(准则2)(P37))(limMaxnn)(limmbxnnab例6.设证明数列极限存在.(P37～P38)证:利用二项式公式,有nnnx)1(11nn1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(11)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211!)1(1nnnnn大大正),2,1(1nxxnn11)1(1nnnx又比较可知)111()121)(111(!1nnnnn根据准则2可知数列nx记此极限为e,ennn)1(lim1e为无理数,其值为590457182818284.2e即有极限.11)1(1nnnx11又31213nCONCLUSIONS1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;柯西准则思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知),2,1(21,111nxxxnn,求nnxlim时,下述作法是否正确?说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对!此处nnxlim机动目录上页下页返回结束可用数学归纳法证证明数列2，22，222的极限存在提示：故极限存在，练习题1.设)(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x,且求.limnnx解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1∴数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.设证:显然,1nnxx证明下述数列有极限.即单调增,又1(1))1()1(11kaa存在“拆项相消”法