高数课件10洛必达法则

营口地区成人高等教育QQ群54356621洛必达法则在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式,00本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求和00这两种基本未定式的极限，也可间接求出1,,0,,000等其它类型的未定式的极限营口地区成人高等教育QQ群54356621洛必达法则型未定式解法型及一、:00定义.00)()(lim,)()(,)()(型未定式或称为那末极限大都趋于零或都趋于无穷与两个函数时或如果当xFxfxFxfxaxxax例如,,tanlim0xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(营口地区成人高等教育QQ群54356621.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(),()2(;)()(,0)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfxaxaxax那末或为无穷大存在都存在且及本身可以除外点点的某领域内在都趋于零及函数时当设定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则..,,,该法则仍然成立时以及时当xaxx营口地区成人高等教育QQ群54356621证定义辅助函数,,0),()(1axaxxfxf,,0),()(1axaxxFxF,),(0xaU内任取一点在,为端点的区间上与在以xa,)(),(11件满足柯西中值定理的条xFxf则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)(之间与在ax,,aax时当,)()(limAxFxfax,)()(limAFfa.)()(lim)()(limAFfxFxfaax营口地区成人高等教育QQ群54356621注①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的极限存在或为∞②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的极限③未定式为止使用法则，直到不再是续所要求的条件，则可继定理中对满足还是未定式，且若)(),()(),()()(lim0xgxfxgxfxgxfxx)()(lim)()(lim00xgxfxgxfxxxx)()(lim0xgxfxx营口地区成人高等教育QQ群54356621④xxxxxxxxx,,,,000换成将仍有类似的结论型的极限时00x如：定理)()()(lim)()(lim)()()(lim)3(0)(||)(),()2(0)(lim)(lim)1(||)(),(或则或时可导，且在上有定义，且在设AxgxfxgxfAxgxfxgNxxgxfxgxfNxxgxfxxxxx营口地区成人高等教育QQ群54356621关于型的极限，有下述定理定理)()()(lim)()(lim)()()(lim)3(0)()(),()2()(lim)(lim)1()(),(000000或则或可导，且的某邻域内有定义，且在设AxgxfxgxfAxgxfxgxgxfxgxfxxgxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxx,,,,000换成将结论仍成立营口地区成人高等教育QQ群54356621例1.123lim2331xxxxxx求)00(解12333lim221xxxx原式)00(266lim1xxx.23例2xxxeexxxsin2lim0)00(xeexxxcos12lim0)00(xeexxxsinlim0)00(xeexxxcoslim02注在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。营口地区成人高等教育QQ群54356621例3解.1arctan2limxxx求22111limxxx原式221limxxx.1例4解.sinlnsinlnlim0bxaxx求axbxbbxaxaxsincossincoslim0原式.1)00()(axbxxcoscoslim0营口地区成人高等教育QQ群54356621例5证明0lnlimxxx)0,,(0limxxex证分两种情况①正整数若则连续使用μ次法则，得xxxxeex!limlim0②正整数若)10(rr记则连续使用[μ]次法则，得xxxxexex][][)1][()1(limlimxrxex][)1][()1(lim营口地区成人高等教育QQ群54356621xrxex1][1][))(1][()1(limrxxxe11][])[)(1][()1(lim0本例说明：都趋于时，当xexxx,,ln但它们趋于+∞的速度有快有慢由慢到快依次是：对数函数、幂函数、指数函数这一点从图上即可看出oxyxylnxyxey营口地区成人高等教育QQ群54356621例6.3tantanlim2xxx求)(解直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则xxxxxxxxcos3cos3sinsinlim3tantanlim22)00(xxxxxxcos3coslim3sinsinlim22xxxcos3coslim2xxxsin3sin3lim23营口地区成人高等教育QQ群54356621例711sinlim20xxexx)00(xxexxx1cos1sin2lim0分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效”xxexexxxxxx1sin1lim11sinlim020但010注分子分母中出现xxxxxx1cos,1sin,cos,sin,0时或时不可使用L.Hospital法则营口地区成人高等教育QQ群54356621例8.tantanlim20xxxxx求解30tanlimxxxx原式22031seclimxxxxxxx6tansec2lim20xxxtanlim310.31注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法——尤其是等价无穷小的代换——结合使用，可以简化运算过程，效果会更好，使用起来也更有效。营口地区成人高等教育QQ群54356621型未定式解法二、00,1,0,,0关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.),00()(仍可使用L.Hospital法则来求极限型0.1步骤:,10.000100或即将其中之一个因子下放至分母就可转化为型或00营口地区成人高等教育QQ群54356621例9xxxlnlim0xxx1lnlim02011limxxxxx0lim0注意：对数因子不下放，要放在分子上型.2步骤:0101.0000营口地区成人高等教育QQ群54356621例10).1sin1(lim0xxx求)(解xxxxxsinsinlim0原式xxxxxcossincos1lim0.0型00,1,0.3步骤:ln01ln0ln01000取对数.0营口地区成人高等教育QQ群54356621例11.lim0xxx求)0(0解xxxeln0lim原式xxxelnlim0xxxe1lnlim02011limxxxe0e.1例12.lim111xxx求)1(解xxxeln111lim原式xxxe1lnlim111lim1xxe.1e营口地区成人高等教育QQ群54356621例13解.)(cotlimln10xxx求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex取对数得)ln(cotln1lim0xxxxxxx1sin1cot1lim20xxxxsincoslim0,1.1e原式营口地区成人高等教育QQ群54356621例14解.coslimxxxx求1sin1limxx原式).sin1(limxx极限不存在洛必达法则失效。)cos11(limxxx原式.1注意：洛必达法则的使用条件．营口地区成人高等教育QQ群54356621几点说明①L.Hospital法则只是求未定式极限的一种有效方法，是充分条件，当定理的条件满足时，所求的极限存在或为∞，当定理的条件不满足时，主要是指（3）不成立，即导数之比的极限不易求出，或不存在但不∞，函数之比的极限未必不存在，此时L.Hospital法则：“失效”xxxxxx1cos,1sin,cos,sin,0时或时若出现不宜使用L.Hospital法则②L.Hospital法则只能对，00这两种基本未定式才可直接应用，其它类型的未定式必须先转化营口地区成人高等教育QQ群54356621③L.Hospital法则与等价无穷小的代换结合使用效果会更好④使用L.Hospital法则前宜先行约去可约因子，特别是极限不为0的因子，宜将确定后的极限值提到极限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次乘积极限的运算法则）⑤可考虑进行恒等变形或引入适当的变量代换，以简化计算营口地区成人高等教育QQ群54356621三、小结洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111取对数令gfy