三次函数专题

1三次函数——导数应用中永恒的经典【考点定位】考试说明：了解导数概念及其几何意义；会用常见基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数和简单复合函数的导数；了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，会用导数求函数的极值和闭区间上函数的最值.问题概述：三次函数)0(23adcxbxaxy一直是中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题.2014年高考，在全国卷、浙江卷、天津卷、安徽卷、北京卷、辽宁卷、陕西卷、江西卷、广东卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是浙江卷（理）、北京卷（文）、广东卷（文）以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视.单调性和对称性最能反映这个函数的特性.通常以它为素材来研究函数的单调性、极值、最值等性质，还可沟通函数、方程、不等式、等知识之间的有机联系.本文以2014年高考为例，例谈高考中的三次函数问题.【考量基础】三次函数的单调区间及闭区间上的最值例1【2014高考安徽卷第18题】设函数23()1(1)fxaxxx,其中0a.（1）讨论()fx在其定义域上的单调性；（2）当[0,1]x时，求()fx取得最大值和最小值时的x的值.解析：（1）)(xf的定义域为),(，2'321)(xxaxf.令0)('xf，得33411ax，33412ax，21xx，所以))((3)(21'xxxxxf.当1xx或2xx时，0)('xf；当21xxx时，0)('xf.故)(xf在),(1x和),(2x内递减，在),(21xx内递增.（2）因为0a，所以.0,021xx当4a时，12x，由（1）知，)(xf在]1,0[上递增，所以)(xf在0x和1x处分别取得最小值和最大值.当40a时，12x，由（1）知，)(xf在],0[2x上递增，在]1,[2x递减，所以)(xf在33412axx处取得最大值.又aff)1(,1)0(，所以当10a时，)(xf在1x处取得最小值；当1a时，)(xf在0x和1x处同事取得最小值；当41a时，2)(xf在0x处取得最小值.点评：（本题根据导数公式求导数考查运算求解能力，判断函数单调性及求最值考查抽象概括能力，逻辑思维能力以及分析、解决问题的能力，试题中等难度）高考趋势：（本类问题在近几年高考中频繁出现，利用函数单调性及分类讨论思想求最值，学生对字母的讨论会分但不全）类题演练：【2014高考广东卷文第21题】已知函数32113fxxxaxaR.（1）求函数fx的单调区间；【考量能力】1.三次函数的图像问题例2【2014高考江西卷文第10题】在同意直角坐标系中，函数22322()2ayaxxyaxaxxaaR与的图像不可能的是（）解析：讨论字母的取值情况，确定函数的图像特征，再利用排除法求解.分两种情况讨论.当0a时，函数为xy与xy，图象为D，故D有可能.当0a时，函数22axaxy的对称轴为ax21，对函数axaxxay2322，求导得)1)(13(14322'axaxaxxay，令0'y，则axax1,3121，所以对称轴ax21介于两个极值点之间，A，C满足，B不满足，所以B是不可能的.故选B.点评：（本题是二次函数和三次函数图象的识别，利用导数研究函数性质，考查抽象概括能力和推理论证能力，试题难度较大）高考趋势：（本类问题结合图形分析，考查图象的识别能力和创新意识，在近几年高考中屡屡出现）3类题演练：【2014陕西高考理第10题】如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（）（A）3131255yxx（B）3241255yxx（C）33125yxx（D）3311255yxx2.三次函数的切线问题例3【2014高考北京卷文第20题】已知函数3()23fxxx.（2）若过点(1,)Pt存在3条直线与曲线()yfx相切，求t的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)ABC分别存在几条直线与曲线()yfx相切？（只需写出结论）解析：（2）设过点),1(tP的直线与曲线)(xfy相切于点),(ooyx，则oooxxy323，且切线斜率为362oxk，所以切线方程为))(36(2oooxxxyy，因此)1)(36(2oooxxyt，整理得036423txxoo.设364)(23txxxg，则“过点),1(tP存在3条直线与曲线()yfx相切”等价于“)(xg有3个不同的零点”，'()gx21212xx=12(1)xx，()gx与'()gx的情况如下：x(,0)0(0,1)1(1,)'()gx+00+()gxt+31t所以，(0)3gt是()gx的极大值，(1)1gt是()gx的极小值，当(0)30gt，即3t时，此时()gx在区间(,1]和(1,)上分别至多有1个零点，所以()gx至多有2个零点，4当(1)10gt，1t时，此时()gx在区间(,0)和[0,)上分别至多有1个零点，所以()gx至多有2个零点.当(0)0g且(1)0g，即31t时，因为(1)70gt，(2)110gt，所以()gx分别为区间[1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点，由于()gx在区间(,0)和(1,)上单调，所以()gx分别在区间(,0)和[1,)上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)Pt存在3条直线与曲线()yfx相切时，t的取值范围是(3,1).（3）3条，2条，1条点评：（本小题主要考查导数的几何意义，导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论，函数与方程，转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力，试题难度较大.）高考趋势：（利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识，基本题型与基本技能是解决这类问题的关键）类题演练：【2014高考全国卷新课标Ⅱ文第21题】已知函数23)(23axxxxf，曲线)(xfy在点)2,0(处的切线与x轴交点的横坐标为2.（1）求a；3.三次函数的零点问题例4【2014全国1高考理第11题】已知函数32()31fxaxx，若()fx存在唯一的零点0x，且00x，则a的取值范围是（）A．2,B．1,C．,2D．,1解析：当0a时，13)(2xxf，函数()fx有两个零点33和33，不满足题意，舍去；当0a时，xaxxf63)(2'，令0)('xf，则0x和ax2，)0,(x时，0)('xf；)2,0(ax时，0)('xf；),2(ax时，0)('xf，且0)0(f，此时)0,(x必有零点，故不满足题意，舍5去；当0a时，)2,(ax时，0)('xf；)0,2(ax时，0)('xf；),0(x时，0)('xf，且0)0(f，要使得()fx存在唯一的零点0x，且00x，只需0)2(af，即42a，则2a.故选C.点评：（利用导数研究函数的图象，考查学生的推理论证能力，特殊值法的运用，试题难度较大）高考趋势：（利用排除法处理选择题问题，不仅可以提高试题正确率，而且可以节省时间.三次函数零点个数总共三类情况，学生不难处理）类题演练：【2014高考全国卷新课标Ⅱ文第21题】已知函数23)(23axxxxf，曲线)(xfy在点)2,0(处的切线与x轴交点的横坐标为2.（2）证明：当1k时，曲线)(xfy与直线2kxy只有一个交点.【综合＆迁移】三次函数与绝对值例5【2014高考浙江卷理第22题】已知函数axxxf3)(3（Ra）.（1）若)(xf在1,1上的最大值和最小值分别记为)(),(amaM，求)()(amaM；解析：因为,,33,,33)(33axaxxaxaxxxf所以,,33,,33)(22'axxaxxxf由于.11x①当1a时，有ax，故axxxf33)(3.此时)(xf在)1,1(上是增函数，因此)()(amaM=.8)34()34()1()1(aaff②当11a时，axxxf33)(3在)1,(a上是增函数；axxxf33)(3在),1(a上是减函数，所以，.)()()},1(),1(max{)(3aafamffaM由于.26)1()1(aff因此当311a时，43)()(3aaamaM；当131a时23)()(3aaamaM.③当1a时，有ax，故axxxf33)(3，此时)(xf在)1,1(上是减函数，因此)()(amaM=.4)32()32()1()1(aaff6综上可知，.1,4,131,23,311,43,1,8)()(33aaaaaaaaamaM点评：（利用导数研究带绝对值三次函数的单调性、最值的求法，判断单调性和求最值时不仅对x进行讨论去绝对值，同时要对a进行讨论，考查分类讨论思想和运算求解能力，试题难度较大）高考趋势：（三次函数)0(23adcxbxaxy作为中学阶段一个重要的函数，学生对其图象与性质掌握得较全面，在此基础上将三次函数带上绝对值，增加了对字母讨论的难度，在学生跳一跳够得着基础上改编三次函数这的确是个好题）类题演练：【2013高考浙江卷理第22题】已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．【反馈平台】1.【2014高考浙江卷文第7题】已知函数cbxaxxxf23)(，且3)3()2()1(0fff，则（C）A.3cB.63cC.96cD.9c2.【2014辽宁高考理第11题】当[2,1]x时，不等式32430axxx恒成立，则实数a的取值范围是（C）A．[5,3]B．9[6,]8C．[6,2]D．[4,3]3.【2014高考陕西卷文第10题】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（A）（A）321122yxxx（B）3211322yxxx（C）314yxx（D）3211242yxxx74.【2014高考大纲卷文第21题】函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.),0()0,45[U5.【2014高考天津文第19题】已知函数232()(0),3fxxaxaxR（1）求()fx的单调区间和极值；增区间：)1,0(a减区间：)0,(，),1(a；极小值0，极大值231a（2）若对于任意的1(2,)x，都存在2(1,)x，使得12()()1fxfx，求a的取值范围]23,43[