3.3三次函数专题

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1三次函数专题讲义一、定义:定义1、形如32(0)yaxbxcxda的函数,称为“三次函数”(从函数解析式的结构上命名)。定义2、三次函数的导数232(0)yaxbxca,把2412bac叫做三次函数导函数的判别式。由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题,已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。二、三次函数图象与性质的探究:1、单调性。一般地,当032acb时,三次函数)0(23adcxbxaxy在R上是单调函数;当032acb时,三次函数)0(23adcxbxaxy在R上有三个单调区间。(根据0,0aa两种不同情况进行分类讨论)2、对称中心。三次函数)0()(23adcxbxaxxf是关于点对称,且对称中心为点))3(,3(abfab,此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。证明:设函数的对称中心为(m,n)。按向量将函数的图象平移,则所得函数是奇函数,所以化简得:上式对恒成立,故,得,。所以,函数的对称中心是()。可见,y=f(x)图象的对称中心在导函数y=的对称轴上,且又是两个极值点的中点,同时也是二阶导为零的点。3、三次方程根的问题。(1)当△=01242acb时,由于不等式0)(xf恒成立,函数是单调递增的,所以原方程仅有一个实根。(2)当△=01242acb时,由于方程0)(xf有两个不同的实根21,xx,不妨设21xx,可知,))(,(11xfx为函数的极大值点,))(,(22xfx为极小值点,且函数)(xfy在),(1x和),(2x上单调递增,在21,xx上单调递减。此时:①若0)()(21xfxf,即函数)(xfy极大值点和极小值点在x轴同侧,图象均与x轴只有一个交点,所以原方程有且只有一个实根。②若0)()(21xfxf,即函数)(xfy极大值点与极小值点在x轴异侧,图象与x轴必有三个交点,所以原方程有三个不等实根。③若0)()(21xfxf,即)(1xf与)(2xf中有且只有一个值为0,所以,原方程有三个实根,其中两个相等。4、极值点问题。若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x)(或f(x0)≤f(x)),则称函数f(x)在点x0处取得极大值(或极小值),称点x0为极大值点(或极小值点)。当0时,三次函数yfx在,上的极值点要么有两个。当0时,三次函数yfx在,上不存在极值点。5、最值问题。函数若,且,则:max0,,fxfmfxfn;。三、例题讲解:例1、(函数的单调区间、极值及函数与方程的)已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1。(Ⅰ)设a=2,求f(x)的单调期间;(Ⅱ)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围。解:2①式无解,②式的解为5543a,因此a的取值范围是5543,.例2、已知函数)(xf满足Cxxfxxf2332')((其中C为常数).(1)求函数)(xf的单调区间;(2)若方程0)(xf有且只有两个不等的实数根,求常数C;(3)在(2)的条件下,若031f,求函数)(xf的图象与x轴围成的封闭图形的面积.解:(1)由Cxxfxxf2332')(,得132'23)('2xfxxf.取32x,得13232'232332'2ff,解之,得132'f,∴Cxxxxf23)(.从而1313123)('2xxxxxf,列表如下:x)31,(31)1,31(1),1()('xf+0-0+)(xf↗有极大值↘有极小值↗∴)(xf的单调递增区间是)31,(和),1(;)(xf的单调递减区间是)1,31(.(2)由(1)知,CCfxf27531313131)]([23极大值;CCfxf1111)1()]([23极小值.∴方程0)(xf有且只有两个不等的实数根,等价于0)]([极大值xf或0)]([极小值xf.………8分∴常数275C或1C.(3)由(2)知,275)(23xxxxf或1)(23xxxxf.而031f,所以1)(23xxxxf.令01)(23xxxxf,得0)1()1(2xx,11x,12x.∴所求封闭图形的面积11231dxxxx11234213141xxxx34.例3、(恒成立问题)已知函数3211()32fxxxcxd有极值.(1)求c的取值范围;(2)若()fx在2x处取得极值,且当0x时,21()26fxdd恒成立,求d的取值范围.解:(1)∵3211()32fxxxcxd,∴2()fxxxc,要使()fx有极值,则方程2()0fxxxc有两个实数解,从而△=140c,∴14c.(2)∵()fx在2x处取得极值,3∴(2)420fc,∴2c.∴3211()232fxxxxd,∵2()2(2)(1)fxxxxx,∴当(,1]x时,()0fx,函数单调递增,当x(1,2]时,()0fx,函数单调递减.∴0x时,()fx在1x处取得最大值76d,∵0x时,21()26fxdd恒成立,∴76d2126dd,即(7)(1)0dd,∴7d或1d,即d的取值范围是(,7)(1,).例4、(信息迁移题)对于三次函数32()(0)fxaxbxcxda。定义:(1)()fx的导数()fx(也叫()fx一阶导数)的导数()fx为()fx的二阶导数,若方程()0fx有实数解0x,则称点00(,())xfx为函数()yfx的“拐点”;定义:(2)设0x为常数,若定义在R上的函数()yfx对于定义域内的一切实数x,都有000()()2()fxxfxxfx恒成立,则函数()yfx的图象关于点00(,())xfx对称。(1)己知32()322fxxxx,求函数()fx的“拐点”A的坐标;(2)检验(1)中的函数()fx的图象是否关于“拐点”A对称;(3)对于任意的三次函数32()(0)fxaxbxcxda写出一个有关“拐点”的结论(不必证明)。解:(1)依题意,得:2()362fxxx,()66fxx。由()0fx,即660x。∴1x,又(1)2f,∴32()322fxxxx的“拐点”坐标是(1,2)。(2)由(1)知“拐点”坐标是(1,2)。而(1)(1)fxfx=32(1)3(1)2(1)2xxx32(1)3(1)2(1)2xxx=222666444xx=2(1)f,由定义(2)知:32322fxxxx关于点(1,2)对称。(3)一般地,三次函数32fxaxbxcxd(0)a的“拐点”是,()33bbfaa,它就是()fx的对称中心。或者:任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心;任何一个三次函数平移后可以是奇函数.例5(与线性规划的交汇问题)设函数,其中,是的导函数.(1)若,求函数的解析式;(2)若,函数的两个极值点为满足.设,试求实数的取值范围.解:(Ⅰ)据题意,由知,是二次函数图象的对称轴又,故是方程的两根.设,将代入得4比较系数得:故为所求.另解:,据题意得解得故为所求.(2)据题意,,则又是方程的两根,且则则点的可行区域如图的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点,A到直线的距离的平方为的最小值故的取值范围是例6:(1)已知函数f(x)=x3-x,其图像记为曲线C.求函数f(x)的单调区间;证明:若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1)))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)),曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则12SS为定值;(2)对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题,并予以证明。解法一:(1)(i)有f(x)=x3-x得f’(x)=3x2-1=3(x-33)(x+33).当x(,33)和(33,)时,f’(x)0;当x(33,33)时,f’(x)0。(ⅱ)曲线C在点P1处的切线方程为y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1,即y=(3x12-1)x-2x13.由得x3-x=(3x12-1)x-2x13即(x-x1)2(x+2x1)=0,解得x=x1或x=-2x1,故x2=-2x1.5进而有用x2代替x1,重复上述计算过程,可得x3=-2x2和S2=42274x。又x2=-2x10,所以S2=41271604x,因此有12116ss。(2)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线C’,类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题为:若对于任意不等于3ba的实数x1,曲线C’与其在点P1(x1,g(x1))处的切线交于另一点P2(x2,g(x2)),曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,g(x3)),线段P1P2、P2P3与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则12SS为定值。证明如下:因为平移变换不改变面积的大小,故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至解法二:(1)同解法一。(2)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线C’,类似于(1)(ii)的正确命题为:若对于任意不等于3ba的实数x1,曲线C’与其在点P1(x1,g(x1))处的切线交于另一点P2(x2,g(x2)),曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,g(x3)),线段P1P2、P2P3与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则12SS为定值。证明如下:用x2代替x1,重复上述计算过程,可得x3=2bxa和4223(3)12axbSa。又x2=112,3bbxxaa且所以442112333(3)(62)16(3)0,121212axbaxbaxbSaaa故121.16SS6三次函数作业1、设是函数f(x)的导函数,的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是()2、函数在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是()A.1,-1B.1,-17C.3,-17D.9,-193、设函数32()63(2)2fxxaxax.(1)若()fx的两个极值点为12,xx,且121xx,求实数a的值;(2)是否存在实数a,使得()fx是(,)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识4、设定函数32()(0)3afxxbxcxda,且方程'()90fxx的两个根分别为1,4。(Ⅰ)当a=3且曲线()yfx过原点时,求()fx的解析式;(Ⅱ)若()fx在(,)无极值点,求a的取值范围。5、已知函数f(x)=3231()2axxxR,其中a0.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若在区间11,22上,f(x)0恒成立,求a的取值范围.6、已知函数32()fxaxxbx(其中常数a,b∈R),()()'()gxfxfx是奇

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