2015年高考数学母题题源系列-专题06-三次函数的图象与性质-文(含解析)

三次函数的图像与性质【母题来源】2015安徽卷文–10【母题原题】函数32fxaxbxcxd的图像如图所示，则下列结论成立的是（）（A）a0，b0，c0，d0（B）a0，b0，c0，d0（C）a0，b0，c0，d0（D）a0，b0，c0，d0【答案】A．【考点定位】本题主要考查函数的图象和利用函数图象研究函数的性质.，属于中等题．【试题解析】由函数)(xf的图象可知0a，令0x0d又cbxaxxf23)(2，可知21,xx是0)(xf的两根由图可知0,021xx∴030322121acxxabxx00cb；故A正确.【命题意图】本题主要是考查考生利用函数图象研究函数的性质，在研究函数的性质时要结合函数的单调性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力.【方法、技巧、规律】三次函数32yaxbxcxd(0)a的图象性质1．定义域为R2．值域为R3．单调性因为2'()32fxaxbxc，所以224124(3)bacbac，于是：（1）当a＞0时①当23bac＞0时，方程'()0fx有两个不等的实根1x,2x（不妨设1x＜2x）则2'()32fxaxbxc的图象如下图1所示，三次函数()yfx的图象如图2所示：不难得到：32yaxbxcxd在（-∞,1x）或（2x,+∞）上是增函数，在[1x,2x]上是减函数。②当230bac时，方程'()0fx有两个相等的实根，2'()32fxaxbxc的图象如下图3所示，三次函数()yfx的图象如下图4所示：可知32yaxbxcxd在（-∞,+∞）上是增函数。③23bac＜0时，方程'()0fx没有实根，且'()fx＞0恒成立。所以32yaxbxcxd在（-∞,+∞）上是增函数。（2）当a＜0时①当23bac＞0时，方程'()0fx有两个不等的实根1x,2x（不妨设1x＜2x）则2'()32fxaxbxc的图象如下图5所示，三次函数()yfx的图象如图6所示：不难得到：32yaxbxcxd在[1x,2x]上是增函数，在（-∞,1x）或（2x,+∞）上是减函数。②当230bac时，方程'()0fx有两个相等的实根，2'()32fxaxbxc的图象如下图7所示，三次函数()yfx的图象如下图8所示：可知32yaxbxcxd在（-∞,+∞）上是减函数。③23bac＜0时，方程'()0fx没有实根，且'()fx＜0恒成立。所以32yaxbxcxd在（-∞,+∞）上是减函数。4．三次方程的实根（1）当23bac＞0时，方程'()0fx有两个不等实根1x,2x，结合前面性质3易知：①当1()fx·2()fx＞0时，方程()0fx有1个实根；②当1()fx·2()0fx时，方程()0fx有2个实根；③当1()fx·2()fx＜0时，方程()0fx有3个实根。（2）当23bac≤0时，函数()yfx在（-∞,+∞）上是单调函数，方程()0fx有1个实根。【探源、变式、扩展】对于三次函数的图象和性质，有时很难发现解题思路，但是掌握三次函数的图象与性质和规律是解题的关键．【变式】【2009年安徽卷文】设a＜b,函数2()()yxaxb的图像可能是（）【答案】1．【2015漳州一模】已知函数32(fxaxbxxabR，且0)ab的图象如图，且12||||xx，则有（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＞0【答案】D．2．【2013届四川省乐山一中高二下学期第二阶段（半期）考试文科数学试题（带解析）】若函数32fxaxbxcxd的图象如图所示，则一定有（）A．a＜0b＞0c＞0d＜0B．a＜0b＜0c＞0d＜0C．a＜0b＞0c＜0d＜0D．a＜0b＜0c＜0d＜0【答案】A．3.【2014合肥三模】已知函数32fxaxbxcxd图象如图所示，fx是fx的导函数，则不等式0fxx的解集为（）A．（-∞，-1）∪（0，1）B．（-∞，-1）∪（1，+∞）C．（-1，0）∪（0，1）D．（-1，0）∪（1，+∞）【答案】D4.【2015淮北模拟】知函数320fxaxbxcxda图象如图，则2233cyaxbx的单调增区间______．【答案】1[)2，5.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示，则下列判断正确的是A．a0,b0,c0B．a0,b0,c0C．a0,b0,c0D．a0,b0,c0【答案】D6.已知函数),,()(23为常数dcbdcxbxxxf，当(,0)(5,)k时，0)(kxf只有一个实数根；当(0,5),()0kfxk时有3个相异实根，现给出下列4个命题：①函数)(xf有2个极值点；②函数()fx有3个极值点；③方程()5fx的根小于()0fx的任意实根；④()0fx和()0fx有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（）。A．1B．2C．3D．4【答案】C7.【2000年北京高考】已知函数32fxaxbxcxd的图象如图，则（）A．0b，B．01b，C．12b，D．2b，【答案】A8.【2009安徽理科】设a＜b，函数2yaxxb的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B9.【2014江西卷文】在同意直角坐标系中，函数22322()2ayaxxyaxaxxaaR与的图像不可能的是（）【答案】B10.【2015西城区期末】函数32fxaxbxcx的图象如图所示，且fxf（x）在0xx与1x处取得极值，给出下列判断：①110ff；②20f；③函数'yfx在区间0，上是增函数．其中正确的判断是【答案】②③