三次函数的所有题型

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1三次函数的基本题型由于三次函数在高考中出现频率最高,且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决,故以三次函数为例来研究根的情况,设三次函数)0()(23adcxbxaxxf其导函数为二次函数:)0(23)(2/acbxaxxf,判别式为:△=)3(412422acbacb,设0)(/xf的两根为1x、2x,结合函数草图易得:(1)若032acb,则0)(xf恰有一个实根;(2)若032acb,且0)()(21xfxf,则0)(xf恰有一个实根;(3)若032acb,且0)()(21xfxf,则0)(xf有两个不相等的实根;(4)若032acb,且0)()(21xfxf,则0)(xf有三个不相等的实根.说明:(1)(2)0)(xf含有一个实根的充要条件是曲线)(xfy与x轴只相交一次,即)(xf在R上为单调函数(或两极值同号),所以032acb(或032acb,且0)()(21xfxf);(3)0)(xf有两个相异实根的充要条件是曲线)(xfy与x轴有两个公共点且其中之一为切点,所以032acb,且0)()(21xfxf;(4)0)(xf有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(xfy与x轴有三个公共点,即)(xf有一个极大值,一个极小值,且两极值异号.所以032acb且0)()(21xfxf.【例题1】:设函数13-31)(23++=xxxxf,求函数)(xf的单调区间。【变式1】:设函数mxxxxf++=3-31)(23,求函数)(xf的单调区间。【变式2】:设函数131)(23+++=mxxxxf,求函数)(xf的单调区间。【变式3】:设函数131)(23+++=xmxxxf在∈x(-∞,+∞)为单调函数,求m的取值范围。【变式4】:设函数1)1(2131)(23++++=mxxmxxf,求函数)(xf的单调区间。2【变式5】:设函数cxxmmxxf++++=23)1(2131)(,求函数)(xf的单调区间。【变式6】:设函数cxxmxxf232131)(,求函数)(xf的单调区间。【例题2】:设函数1331)(23xxxxf,求)(xf的极值。【例题3】:设函数1331)(23xxxxf,求)(xf在[0,4]的最值。【变式1】:【2005高考北京文第19题改编】已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.【变式2】:【2012高考北京文第19题改编】已知函数2()1(0)fxaxa,3()gxxbx。当3,9ab时,若函数()()fxgx在区间[,2]k上的最大值为28,求k的取值范围。【例题4】:设函数1331)(23xxxxf,)(xf在[0,4]的满足cxf)(恒成立,求c的取值范围。【变式】:设函数1331)(23xxxxf,)(xf在[0,4]的满足cxf)(恒成立,求c的取值范围。【例题5】:【2014高考北京文第20题改编】已知函数3()23fxxx.若过点(1,)Pt存在3条直线与曲线()yfx相切,求t的取值范围;【变式】(1)已知函数3()23fxxx.若过点(1,)Pt存在2条直线与()yfx相切,求t的取值范围;(2)已知函数3()23fxxx.若过点(1,)Pt存在1条直线与()yfx相切,求t的取值范围(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?3【变式】:已知函数f(x)=3213xaxb在2x处有极值.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点,求b的取值范围。【例题6】:设323()1312fxxaxax.若函数()fx在区间1,4内单调递减,求a的取值范围;【变式】已知函数1331(223xmmxxxf)(0)m.若函数)(xf在区间(21,1)mm上单调递增,求实数m的取值范围.【例题7】已知函数3221()(1)(,)3fxxaxaxbabR当0a时,若()fx在区间(1,1)上不单调,求a的取值范围.【例题8】axxxxf22131)(23,若)(xf在),32(上存在单调递增区间,求a的取值范围;【例题9】已知函数322()2(2)13fxxxax,其中0a.求()fx在区间[2,3]上的最小值.4答案:【例题1】:设函数13-31)(23++=xxxxf,求函数)(xf的单调区间。解析:)(xf的定义域为R,3-2)(2xxxf+=′03-2)(2+=′xxxf⇒),或(∞1,-3)∞-(+∈x,此时为)(xf的单调递增区间;03-2)(2+=′xxxf⇒-3,1)(∈x,此时为)(xf的单调递减区间。【变式1】:设函数mxxxxf++=3-31)(23,求函数)(xf的单调区间。解析:)(xf的定义域为R,3-2)(2xxxf+=′03-2)(2+=′xxxf⇒),或(∞1,-3)∞-(+∈x,此时为)(xf的单调递增区间;03-2)(2+=′xxxf⇒-3,1)(∈x,此时为)(xf的单调递减区间。【老吴帮你解后反思】:变式1与例题的区别在于把三次函数的常数项换成参数m,但是不影响函数的单调性。【变式2】:设函数131)(23+++=mxxxxf,求函数)(xf的单调区间。解析:依题意可得2()2fxxxm当440m即1m时,220xxm恒成立,故()0fx,所以函数()fx在R上单调递增;当440m即1m时,2()20fxxxm有两个相异实根1244112mxm211xm,且21xx,故2()20fxxxm⇒(,11)(11,)xmxm或,此时为)(xf的单调递增区间;2()20fxxxm⇒(11,11)xmm,此时为)(xf的单调递减区间。综上可知,当1m时,函数()fx在R上单调递增;5当1m时,(,11)(11,)xmxm或单调递增,(11,11)xmm单调递减。【老吴帮你解后反思】:函数求导后为常数项未知的二次函数,不能确定二次函数与图像的交点个数,即二次方程的跟,所以要讨论Δ的正负。【变式3】:设函数131)(23+++=xmxxxf在∈x(-∞,+∞)为单调函数,求m的取值范围。解析:依题意可得2()21fxxmx,2440,1m1m所以1,1m。【老吴帮你解后反思】:1、单调函数为在定义域范围内为增函数或减函数;2函数求导后为含参数的二次函数,二次函数图像开口向上,所以只能满足∈x(-∞,+∞)上()0fx,所以要Δ0≤。【变式4】:设函数1)1(2131)(23++++=mxxmxxf,求函数)(xf的单调区间。解析:依题意可得2()(1)()(1)fxxmxmxmx,令0)(=′xf,12,1xmx,(1)m1,12xx,即(,)-1+m或(,)为单调递增,-m,-1()为单调递减;(2)m=1,12xx=,即0)(≥′xf,所以函数()fx在R上单调递增;(3)m1,12xx,即-,1)-m,)(或(为单调递增,-1,-m()为单调递减;【老吴帮你解后反思】:由于m的不确定性,不能确定两根的大小,所以要进行分类讨论,很多同学不知道分类讨论的分界点是什么,遇到这种能够直接可以因式分解的,讨论的分界点即为两根相等时求出的参数值,所以此题分类讨论的分界点为m=1,m1,m1,【变式2】因为不能因式分解,不能确定方程有根无根,所以要讨论Δ的正负。【变式5】:设函数cxxmmxxf++++=23)1(2131)(,求函数)(xf的单调区间。解析:依题意可得2()(1)1(1)(1)fxmxmxmxx,(1)m=0,()1fxx,所以函数()fx在-,1)(单调递减,在-1,)(单调递增;(2)m0≠,2()(1)1(1)(1)fxmxmxmxx=0,1211,xxmm0,12xx,1(,1)-,)m或(单调递减,1(1,)m单调递增;610m,12xx,1(,)-1,)m或(单调递增,1(,1)m单调递减;m=1,12xx=,所以在R上为单调递增;1m,12xx,1(,1)-,)m或(单调递增,1(1,)m单调递减;综上可知,m0,1(,1)-,)m或(单调递减,1(1,)m单调递增;m=0,,-,1)(单调递减,在-1,)(单调递增;10m,1(,)-1,)m或(单调递增,1(,1)m单调递减;m=1,所以在R上为单调递增;1m,,1(,1)-,)m或(单调递增,1(1,)m单调递减;【老吴帮你解后反思】:这道题目与【变式4】区别在于,最高次前边的系数不能确定,所以讨论的第一个分界点为m=0,然后在讨论两个根的大小,但是一定注意导函数图像的开口方向,这是易错点。【变式6】:设函数cxxmxxf+++=232131)(,求函数)(xf的单调区间。提示:求导后,分析二次函数的最高幂系数不确定,所以要讨论m与0的关系,在≠m0的情况下,讨论Δ的正负。【例题2】:设函数321()313fxxxx,求()fx的极值。解析:定义域为xR,依据题意可知2()23fxxx,令2()230fxxx,121,3xxx(,1)-1(1,3)3(3,)()fx()fx00()fx00()fx0()fx单调递增极大值8(1)3f单调递减极小值(3)8f单调递增7附图:【例题3】:设函数321()313fxxxx,求()fx在[0,4]的最值。解析:定义域为xR,依据题意可知2()23fxxx,令2()230fxxx,11x(舍)23xx0(0,3)3(3,4)4()fx()fx00()fx0()fx(0)1f单调递减极小值(3)8f单调递增7(4)3f通过表格可以发现,最大值为(0)1f,最小值(3)8f【老吴帮你解后反思】:本题主要注意求出导数值为零点时,11x不在给定范围。附图:【变式1】:【2005高考北京文第19题改编】已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解析:依据题意,2()369fxxx,()0fx,121,3xx(舍)8x-2(2,1)-1(1,2)2()fx()fx00()fx0()fx(2)2fa单调递减(1)5fa单调递增(2)22fa由表可知f(x)的最大值为(2)22fa=20,所以a=-2.f(x)的最小值为(1)5fa=-7.附图:【变式2】:【2012高考北京文第19题改编】已知函数2()1(0)fxaxa,3()gxxbx。当3,9ab时,若函数()()fxgx在区间[,2]k上的最大值为28,求k的取值范围。解析:依据题意,32()()()391hxfxgxxxx,2()369hxxx,12()0,1,3hxxxx(,3)-3(3,1)-1(1,2)2()fx()fx00()fx00()fx0()fx单调递增极大值(3)28f单调递减极小值(1)12f单调递增(2)3f结合函数单调性可知,要使()hx最大值为28,必须使

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