《大学数学》教案

《大学数学》教案------教师课堂教学参考资料（说明：本教学教案以高等教育出版社普通高等教育“十一五”国家级规划教材第二版《大学文科数学》（张国楚等主编）教学内容为蓝本制作，按照教学顺序，展现教学中的难点、重点）2第一章微积分的基础和研究对象内容：§1微积分基础---集合、实数和极限1.1从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起1.2极限、实数、集合在微积分中的作用1.3实数系的建立及邻域概念计划：2学时主要讲述微积分发展演变的历史。微积分的基础是---集合、实数和极限，微积分的发展历史可追溯到17世纪，在物理力学等实际问题中出现大量的（与面积、体积、极值有关的）问题，用微积分得到了很好的解决。到19世纪，经过无数数学家的努力，微积分的理论基础才得以奠定。可以说，经过300多年的发展，微积分课程的基本内容已经定型，并且已经有了为数众多的优秀教材。但是，人们仍然感到微积分的教与学都不是一件容易的事，这与微积分学科本身的历史进程有关。微积分这座大厦是从上往下施工建造起来的。微积分从诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多过去认为高不可攀的困难问题，取得了辉煌的胜利，创始微积分数学的大师们着眼于发展强有力的方法，解决各式各样的问题，他们没来得及为这门学科建立起严格的理论基础。在以后的发展中，数学危机的出现，促使后继者才对逻辑细节作了逐一的修补。重建基础的细致工作当然是非常重要的，但也给后世的学习者带来了不利的影响，今日的初学者在很长一段时间内只见树木不见森林。在这一节重点了解十九世纪建立分析学基础的历史；了解第二次数学危机的意义；了解实数理论、集合论诞生的背景与内容；了解十九世纪分析学的新进展。重点提出几位数学家：牛顿（创立了微积分学）；柯西、维尔斯特拉斯（为微积分学奠定了理论基础）；康托（建立集合论）。3内容：§2微积分的研究对象---函数2.1变量相依关系的数学模型---函数2.2逆向思维一例---反函数2.3基本初等函数2.4复合函数2.5初等函数的含义2.6MM能力培养计划：2学时在自然科学，工程技术甚至社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念之一，其意义远远超过了数学范围，在数学中函数处于基础核心地位。函数不仅是贯穿中学《代数》的一条主线，它也是《大学数学》这门课程的研究对象。《大学数学》课程中，将在原有初等数学的基础上，对函数的概念、性质进行重点复习和深入的讨论，并采用极限为工具研究函数的各种分析性质，进而应用函数的性质去解决实际问题。本节重点掌握以下内容：函数的表示方法，函数的图形与特殊的几何性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；函数的运算：和差积商四则运算、求逆运算（反函数）、求复合运算（复合函数）；初等函数与非初等函数的概念。下面谈谈对初等函数的认识。基本初等函数是在数学史的发展过程中，用到最多的6类函数，其性质在中学已经考察的比较清楚了，它们是：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。基本初等函数以及对基本初等函数作有限次四则运算与有限次函数复合运算得到的由一个式子表示的函数成为初等函数。在本教材中，我们大多数情况下都考虑初等函数。但也要清楚一些非初等函数的例子，如一些常见的分段函数：符号函数、取整函数、小数函数4第二章微积分的直接基础---极限内容：§1从阿基里斯追赶乌龟谈起---数列极限1.1数列的概念1.2数列极限的定性描述1.3数列极限的定量描述1.4数列极限中蕴含的辨证思想计划：4学时为了深入研究函数,需要引进极限的概念.极限是高等数学最基本的概念,在微分学与积分学中,极限的方法是解决问题的主要方法.从方法论上来说,这是高等数学区别于初等数学的显著标志.极限的定性描述是用所谓的描述性语言，例如，“无限趋近”“越来越靠近”这些都只是一种模糊的描述，一种直观的想象，缺乏精确性；尽管直观在数学的发展和创造中扮演着充满活力的积极角色，但数学不能停留在直观的认识阶段。为避免直观想象可能带来的错误判断，作为微积分工具的极限概念，必须有定量描述的精确定义。本节的重点是对数列极限的定量描述的理解。数列极限的定量描述：定义：（N语言）axNnNaxnnn，，，0lim.注意：1）关于是衡量nx与a接近程度的，愈小，表示的接近愈好，它除受限于正数外，不受任何限制，正说明nx与a能够接近到任何程度.有任意性，但一经给出，就应暂时看作是固定不变的，以便据此来求N.也就是说，具有二重性，的绝对任意性是通过无限多个相对固定性的表现出来的.再者，既然是任意给定的正数，那么c（c是正常数），，，2同样都是任意给定的正数，因此定义中不等式右边的完全可以由c（c是正常数），，，2来代替，同样可知，不等式中的“”可换为“”.今后证5明极限问题时经常要用到各种与“N”定义等价的形式.在数列极限的定义中，正数是任意的，虽然也可以任意大，但此时不等式axn并不能说明nx无限趋近于a.这里主要指可以任意小，此时不等式才表明nx无限趋近于a.因此证明极限问题时，常常限定的变化范围，如，210,10，例如，为了使]1[是自然数，限定,10从而有]1[1.2）关于NN随的变化而变化，是依赖于的，但不是由所惟一确定的.因为对已经给定的，若N=100能满足要求，则N=101或1000或10000自然更能满足要求.其实N等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N，那么大于N的任何一个自然数都能满足要求.因此，用“N”定义证明数列极限时，不用求最小的N，关键是它的存在性.3）定义中“axNnn，”是指：凡是下标大于N的所有nx，都满足不等式axn.从几何意义上讲，就是所有坐标大于N的nx都落在a的邻域内，而在这邻域之外，至多有N（有限）个项.或说，收敛于a的数列{nx}在a的任何邻域内含有{nx}几乎全体的项，至多除有限个项不在这个邻域内.实际在定义中,不等式axn,就是axan,它表示nx在开区间),(aa内.因此,{nx}以a为极限,就是对任意给定的一个开区间),(aa,第N项以后的一切项，，21NNxx全部落在这个区间内.4）特别：当a=0时，即0limnnx，则称数列{nx}为无穷小量.无穷小量不是很小的量，而是以零为极限的变量.由极限的定义可知nnnnxxNnNx000lim，，，.又知，若axnnlim，则0lim）（axnn，即数列}{axn为无穷小量.反之，若}{axn为无穷小量，则axnnlim.6据此性质知，证明axnnlim与证明}{axn为无穷小量是一回事.5）由数列极限的定义知数列是否有极限，只与它充分远以后的项有关，而与它前面的有限项无关。因此，讨论数列的极限时，可以添加、去掉有限个项或改变它的有限项的数值，而对数列的收敛性与极限都不会产生影响。下面给出“数列{nx}的极限是a”的否定叙述，即“数列{nx}的极限不是a”（表为axnnlim）的叙述.将axnnlim与axnnlim的叙述对比如下:axNnNaxnnn，，，0lim00000limaxNnNaxnnn，，，7内容：§2函数极限2.1自变量x无限趋近有限数0x时的情形2.2左极限和右极限2.3自变量x的绝对值无限增大时的情形2.4函数极限的性质2.5无穷大量与无穷小量2.6极限的四则运算2.7两个重要的极限公式计划：6学时I函数极限:函数极限是数列极限的推广.数列是特殊的函数,即以自然数为定义域的函数,从而数列极限是特殊的函数极限.因此,函数极限与数列极限有相同之处,又有与之不同之点,即函数极限比数列极限复杂得多.总结:函数极限按照自变量的变化趋势以及因变量的变化趋势可以分为24种.下面将这24种定义以列表的形式叙述如下.Axf)()(xf)(xf)(xf0xx.)(,0,000Axfxx有时当.)(,0,000MxfxxM有时当.)(,0,000MxfxxM有时当.)(,0,000MxfxxM有时当0xx.)(,0,000Axfxx有时当.)(,0,000MxfxxM有时当.)(,0,000MxfxxM有时当.)(,0,000MxfxxM有时当0xx.)(,0,000Axfxx有时当.)(,0,000MxfxxM有时当.)(,0,000MxfxxM有时当.)(,0,000MxfxxM有时当8x.)(,,00AxfXxX有时当.)(,,00MxfXxXM有时当.)(,,00MxfXxXM有时当.)(,,00MxfXxXM有时当x.)(,,00AxfXxX有时当.)(,,00MxfXxXM有时当.)(,,00MxfXxXM有时当.)(,,00MxfXxXM有时当x.)(,,00AxfXxX有时当.)(,,00MxfXxXM有时当.)(,,00MxfXxXM有时当.)(,,00MxfXxXM有时当注:这里,自变量的变化趋势有6种,因变量的变化趋势有4种,从而函数极限就有24种情形.一般的,我们将Axf)((常数)的情形称为正常极限,将)(xf,)(xf,)(xf的情形称为非正常极限.从而函数的正常极限就有6种,而非正常极限就有18种.尽管极限有这么多种类,但是定义极限的思想和方法是完全类似的,将极限理解为“随自变量的变化,因变量变化的一种趋势.”下面仅以Axfxx)(lim0(常数),Axfx)(lim(常数)以及)(lim0xfxx这三种极限为例来说明极限的几何意义.1)Axfxx)(lim0的理解:函数值)(xf可以与常数A任意的靠近,只要自变量x与定点0x充分接近即可.2)Axfx)(lim的理解:函数值)(xf可以与常数A任意的靠近,只要自变量x的绝对值x无限增大即可.3))(lim0xfxx的理解:函数值)(xf的绝对值)(xf可以无限增大,只要自变量x与定点0x充分接近即可.II函数极限的性质唯一性、局部有界性、局部保号性、局部保序性、不等式性质9III无穷大量和无穷小量定义以及阶的比较。强调：无穷大量和无穷小量都是变量，在某一极限过程中极限为0或无穷大的变量。无穷大量和无穷小量一定与自变量的趋近方式有关。而阶的比较是表明，在同一极限过程中的两个无穷大量（或无穷小量）趋于无穷大（或0）的速度的快慢。IV两个重要的极限公式1sinlim0xxx；exxx)11(lim。10内容：§3极限应用的一个例子---连续函数3.1连续函数的概念3.2连续函数求极限的法则3.3初等函数的连续性3.4闭区间上连续函数的性质计划：4学时（I）关于连续的概念：自然界中连续变化的现象是很多的,例如:空气或水的流动,植物生长,这种现象反映到数学的函数关系上,就是函数的连续性.实际遇到的情景是:当自变量的改变非常小时,相应的函数值改变也非常小.例如:气温作为时间的函数,就具有这种性质.连续函数是高等数学中着重讨论的一类重要函数.“连续”从字面上不难理解,比如从图形上看,这个函数图形是连绵不断的曲线,但单从图形上看是不行的,因为可以举出在每点都连续却无法用图形表示的函数.图形只能帮助我们更形象地理解这一概念,为进一步的分析与研究,必须给出它的具体的确切定义.定义1:设函数)(xf