2011年湖南高考理科数学试题及答案

12011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考公式：（1）()()()PABPBAPA，其中,AB为两个事件，且()0PA，（2）柱体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高。（3）球的体积公式343VR，其中R为求的半径。一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1.若,abR，i为虚数单位，且()aiibi，则（）A．1,1abB．1,1abC．1,1abD．1,1ab答案：D2.设{1,2}M，2{}Na，则“1a”是“NM”则（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件答案：A解析：因“1a”，即{1}N，满足“NM”，反之“NM”，则2{}={1}Na，或2{}={2}Na，不一定有“1a”。3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9122B．9182C．942D．3618答案：B解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V（）。4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由22()()()()()nadbcKabcdacbd算得22110(40302020)7.860506050K附表：22()PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”答案：C解析：由27.86.635K，而2(6.635)0.010PK，故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线2221(0)9xyaa的渐近线方程为320xy，则a的值为（）A．4B．3C．2D．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3yxa，故可知2a。6.由直线,,033xxy与曲线cosyx所围成的封闭图形的面积为（）A．12B．1C．32D．3答案：D解析：由定积分知识可得333333cossin|()322Sxdxx，故选D。7.设1m，在约束条件1yxymxxy下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．(1,12)B．(12,)C．(1,3)D．(3,)答案：A解析：画出可行域，可知5zxy在点1(,)11mmm取最大值，由21211mmm解得121m。8.设直线xt与函数2(),()lnfxxgxx的图像分别交于点,MN，则当||MN达到最3小时t的值为（）A．1B．12C．52D．22答案：D解析：由题2||lnMNxx，(0)x不妨令2()lnhxxx，则1'()2hxxx，令'()0hx解得22x，因2(0,)2x时，'()0hx，当2(,)2x时，'()0hx，所以当22x时，||MN达到最小。即22t。二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为cos,1sinxy（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线2C的方程为cossin10，则1C与2C的交点个数为。答案：2解析：曲线221:(1)1Cxy，2:10Cxy，由圆心到直线的距离|011|012d，故1C与2C的交点个数为2.10.设,xyR,则222211()(4)xyyx的最小值为。答案：9解析：由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9xyyx。11.如图2，,AE是半圆周上的两个三等分点，直径4BC，ADBC,垂足为D,BE与AD相交与点F，则AF的长为。4答案：233解析：由题可知，60AOBEOC，2OAOB,得1ODBD,33DF，又23ADBDCD，所以233AFADDF.二、必做题（12~16题）12、设nS是等差数列*{}()nanN的前n项和，且141,7aa，则5______S答案：25解析：由141,7aa可得11,2,21nadan，所以5(19)5252S。13、若执行如图3所示的框图，输入1231,2,3,2xxxx，则输出的数等于。答案：23解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则222(12)(22)(32)233S。14、在边长为1的正三角形ABC中，设2,3BCBDCACE，则________ADBE。答案：14解析：由题12ADCDCACBCA，13BECECBCACB，所以111171()()232364ADBECBCACACBCBCA。15、如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）=______PA（）；（2）=______PA（B|）答案：（1）2；（2）1=4PA（B|）5解析：（1）由几何概型概率计算公式可得2==SPAS正圆（）；（2）由条件概率的计算公式可得2114===24PABPAPA（）（B|）（）。16、对于*nN，将n表示为1210012122222kkkkknaaaaa，当0i时，1ia，当1ik时，ia为0或1.记()In为上述表示中ia为0的个数，（例如0112，2104120202：故(1)0,(4)2II）则（1）(12)_____I（2）127()12______Inn答案：（1）2；（2）1093解析：（1）因32101212+120202，故(12)2I；（2）在2进制的(2)kk位数中，没有0的有1个，有1个0的有11kC个，有2个0的有21kC个，……有m个0的有1mkC个，……有1k个0的有111kkC个。故对所有2进制为k位数的数n，在所求式中的()2In的和为：01122111111122223kkkkkkCCC。又712721恰为2进制的最大7位数，所以1277()01122231093Inknk。三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足sincoscAaC.（I）求角C的大小；（II）求3sincos()4AB的最大值，并求取得最大值时角,AB的大小．解析：（I）由正弦定理得sinsinsincos.CAAC因为0,A所以sin0.sincos.cos0,tan1,4ACCCCC从而又所以则（II）由（I）知3.4BA于是63sincos()3sincos()43sincos2sin().63110,,,,46612623ABAAAAAAAAA从而当即时2sin()6A取最大值2．综上所述，3sincos()4AB的最大值为2，此时5,.312AB18.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率。(Ⅰ）求当天商品不进货．．．的概率；（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。解析：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量1件”）=153202010。（II）由题意知，X的可能取值为2，3.51(2)()204PxP当天商品销售量为1件；(3)()+()+(1953)++2020204PxPPP当天商品销售量为0件当天商品销售量为2件当天商品销售量为3件故X的分布列为X23P1434X的数学期望为13112+3=444EX。19.（本题满分12分）如图5，在圆锥PO中，已知2,POO的直径72,,ABCABDAC是的中点,为的中点．（I）证明：;PODPAC平面平面（II）求二面角BPAC的余弦值．解：（I）连接OC，因为OAOC,D为的AC中点，所以ACOD.又,,.POOACOACPO底面底面所以因为,ODPO是平面POD内的两条相交直线，所以ACPOD平面。而ACPAC平面，所以PODPAC平面平面。（II）在平面POD中，过O作OHPD于H，由（I）知，PODPAC平面平面,所以,OHPAC平面又,PAPAC平面所以PAOH.在平面PAO中，过O作OGPA于G,连接HG,则有PAOGH平面，从而PAHG，所以OGH是二面角BPAC的平面角．在2,sin452RtODAODOA中在2222102,51+2+2POODRtPODOHPOOD中在22216,32+1+POOARtPOAOGPOOA中在10155,sin563OHRtOHGOGHOG中,所以10cos5OGH。故二面角BPAC的余弦值为105。20.如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速8度为(0)vv，雨速沿E移动方向的分速度为()ccR。E移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与vc×S成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=32时。（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为31||202vc，故100315(||)(3||10)202yvcvcvv.（II）由(I)知，当0vc时，55(310)(3310)15cycvvv；当10cv时，55(103)(3310)15cyvcvv.故5(310)15,05(103)15,10cvcvyccvv。(1)当1003c时，y是关于v的减函数.故当10v时，min3202cy。(2)当1053c时，在(0,]c上，y是关于v的减函数；在(,10]c上，y是关于v的9增函数；故当vc时，min50yc。A.(本小题满分13分）如图7，椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为32，x轴被曲线22:Cyxb截得的线段长等于1C的长半轴长。（Ⅰ）求1C，2C的方程；（Ⅱ）设2C与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与2C相交于点A,B,直线MA,MB分别与1C相交与D,E.（i）证明：MDME；(ii)记△MA