2010年高考理科数学(湖南卷)全解析

2010年高考湖南卷理科数学全解全析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的]1．已知集合1,2,3M，2,3,4N，则A．MNB．NMC．2,3MND．1,4MN【答案】C【解析】1,2,32,3,42,3MN故选C.【命题意图】本题考查集合的交集与子集的运算,属容易题.[来源:学#科#网]2．下列命题中的假命题．．．是A．Rx，120x＞B．Nx，10x2＞[C．Rx，lgx＜1D．Rx，tan2x【答案】B【解析】对于B选项x＝1时，10x2=，故选B.【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。7.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A．10B.11C.12D.15【答案】B【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有24C6＝（个）【命题意图】本题通过新定义考察学生的创新能力，考察函数的图象，考察考生数形结合的能力，属中档题。二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡．．．对应题号后的横线上。9.已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是_____________g.【答案】171.8或148.2【解析】根据0.618法，第一次试点加入量为110＋（210－110）0.618＝171.8或210－（210－110）0.618＝148.2PTOAB图1【命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。10.如图1所示，过O外一点P作一条直线与O交于A，B两点，已知PA＝2，点P到O的切线长PT＝4，则弦AB的长为________.【答案】6【解析】根据切线长定理2216,82PTPTPAPBPBPA所以826ABPBPA【命题意图】本题考察平面几何的切线长定理，属容易题。11.在区间[1,2]上随机取一个数x，则||x≤1的概率为________.【答案】23【解析】P（||x≤1）＝1(1)22(1)3【命题意图】本题考察几何概率，属容易题。【解析】抛物线的焦点坐标为F（0，2p），则过焦点斜率为1的直线方程为2pyx，设A1122(,),(,)xyBxy（21xx），由题意可知120,0yy由222pyxxpy，消去y得22220xpxp，由韦达定理得，212122,xxpxxp所以梯形ABCD的面积为：122112212221212211()()()()22113()43442232SyyxxxxpxxPxxxxPppp所以232122,0,2ppp又所以【命题意图】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考察考生的运算能力,属中档题15．若数列na满足：对任意的nN，只有有限个正整数m使得man＜成立，记这样的m的个数为()na，则得到一个新数列()na．例如，若数列na是1,2,3,n…，…，则数列()na是0,1,2,1,n…，…．已知对任意的Nn，2nan，则5()a，(())na．【答案】2，2n【解析】因为5ma，而2nan，所以m=1,2,所以5()a2.12345678910111213141516()0,()1,()1,()1,()2,()2,()2,()2,()2,()3,()3,()3,()3,()3,()3,()3,aaaaaaaaaaaaaaaa因为所以1(())a＝1,2(())a＝4，3(())a＝9，4(())a＝16，猜想2(())nan【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，属难题。三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．031233(0)0.90,729,(1)0.10.90,243PXCPXC223333(2)0.10.90,027,(3)0.10,001PXCPXC故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望为EX＝30.1＝0.3【命题意图】本题考查频率分布直方图、二项分布、离散型随机变量的分布列与数学期望。属中档题18．（本小题满分12分）如图5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点。（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；(Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论。【解析】ADBCA1D1B1C1E图5所以1,2xzyz，取2,z得n(2,1,2).设F是棱C1D1上的点，则F（t,1,1）(0≤t≤1)，又B1（1，0，1），所以111(1,1,0),ABEBFtBF而平面，于是111BF//ABEBF平面n0(1,1,0)(2,1,2)02(1)10tt111CD2tF为的中点。这说明在在棱C1D1上是否存在一点F（11CD的中点），使B1F//平面A1BE解法2如图（a）所示，取AA1的中点M，连结EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM//AD。又在正方体ABCD－A1B1C1D1中。AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角.设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝2122213＋＋＝，于是在RT△BEM中，2sin3EMEBMBE19．（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线2x的右侧，考察范围为到点B的距离不超过655km的区域；在直线2x的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过45km的区域．（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图6所示，设线段12PP，23PP是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．冰O化区域融已川B(4,0)P3(8,6)283(,6)3P图61(53,1)PA(-4,0)xyx=2【解析】（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为(,)xy.当x≥2时，由题意知2236(4)5xy当2PAPB5PA,B45x时，由||+||=4知，点在以焦点，长轴长为2a＝22(25)42b的椭圆上。此时短半轴长，因而其方程为221204xy故考察区域边界曲线（如图）的方程为2222123636:(4)(2):(4)(2)55Cxyxxyx和C（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为314,6yxy【命题意图】本题以应用题为背景，考查考察考生数学建模能力，考查圆的方程、椭圆的定义与方程、直线与圆锥曲线的位置关系、等比数列求和。本题属难题。20．（本小题满分13分）已知函数2()(,),,()()fxxbxcbcRxRfxfx对任意的恒有（Ⅰ）证明：当20()();xfxxc时，（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b,c，不等式22()()()fcfbMcb恒成立，求M的最小值。（Ⅱ）是否存在,naa使数列｛｝是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。【解析】易知'2222()(3)3(3)()nnnnfxxanxnaxaxn令'2()0,3)nnfxxaxn得＝，＝(1)23,nan若'3()0()nnnxafxfx当时，，单调递增；2'3,()0()nnnaxnfxfx当时，单调递减；2',()0()nnxnfxfx当时，单调递增；故()nfx在2,xn＝时取得极小值。（2）23,1()3nnnanfxxa若仿（）可得，在取得极小值。（3）2'3,()0()nnnanfxfx若＝，无极值。