数学建模——最优捕鱼模型

最优捕鱼模型一.问题的重述捕鱼业在当今社会中十分重要的行业，捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益，其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联.所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼时间之间的关系，是一个具有现实意义的问题.现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗，鱼苗尾数随着时间的增长而减少，且相对减少率为常数；每尾鱼的重量随着时间增长而增加，且由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比.分析如下问题：问题一：建立尾数和时间的微分方程并求解；问题二：建立每尾鱼重量和时间的微分方程并求解；问题三：用控制网眼的方法不捕小鱼，从一定时刻开始捕捞，用尾数的相对减少率表示捕捞能力，分析开始捕鱼的最佳时刻，使得捕获量最大，并建立相关模型.二.问题分析1.针对问题一，根据相对减少率的数学定义，可以建立鱼尾数和时间的微分方程；2.针对问题二，将鱼体假设为球体，得出鱼的表面积与它重量的关系，使得鱼的重量完全成为一个关于时间的函数，进一步建立出鱼重量与时间的微分方程；3.针对问题三，将捕捞行为看作连续的过程，瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾鱼瞬时重量呈正相关关系，瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关，每尾鱼瞬时重量可由对问题二的解答得出，总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分.三.基本假设1．假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响；2．假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为；3．假设每尾鱼都均衡生长；4．假设在捕捞过程中鱼的条数连续；5．假设鱼为球体.四．符号表示0n鱼塘中最初投放的鱼苗数量t时间n鱼塘内鱼苗尾数与时间的函数r鱼苗尾数的相对减少率V每尾鱼体积S每尾鱼表面积G每尾鱼重量0G每尾鱼初始重量每尾鱼重量密度()tnt时刻鱼塘内鱼苗尾数2k每尾鱼重量减少率与其重量本身比例系数1k每尾鱼重量增加率与鱼表面积比例系数T能获得最大捕捞量的初始时间E捕捞能力W总捕捞量五．模型建立与求解模型一.鱼苗尾数的相对减少率为常数r.由相对减少率的定义得()()()ttttnnrnt即()()()00limlimttttttnnrnt即()tdnrndt解得0rtnne模型二.假设鱼为球体，体积为V，表面积为S，半径为R，重量为G，初始重量为0G，鱼的密度为;且每尾鱼的重量随着时间增长而增加，其中由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比（比例系数为1k），由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比（比例系数为2k）.由343VR，2=4SR，GV得223334SG令2334=b又由于12=-dGkSkGdt,=0t，0GG所以231-1133022+-ktkbkbGGekk模型三.控制网眼不捕小鱼，鱼塘中瞬时鱼尾数用(t)n表示，捕捞能力（E）可以用尾数的相对减少率1dnndt表示，从T时刻开始捕捞，使得捕捞量W能够最大.其中减少量包括自然减少量（即第一模型中的减少量）和捕捞量.此时，-(t)0(t)=-atnneEn-0-0(e)11=-=-=aeatatdndnEndtndt所以，--00(t)==1+(1+)ataTTTaneanWEndtdteaaa则，在此模型下，捕捞时间越早，捕捞量越大.模型四.建立在模型三的基础上，捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数(t)n，还取决于鱼的重量G.即(t)TWEnGdt所以，231--01133(t)022=+-1+atktTTanekbkbWEnGdtGedtakk可根据此函数求得最大捕捞量所对应的时刻T.