2004年高考湖南卷数学试题和参考答案(理科)

2004年高考湖南卷数学试题和参考答案(理科)1/72004年高考试题湖南卷数学试题（理工类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项最符合题目要求的。（1）复数41(1)t的值是（A）4t（B）4t（C）4（D）4（2）如果双曲线2211312xy上点P到右焦点的距离等于13，那么点P到右准线的距离是（A）135（B）13（C）5（D）513（3）设1()fx是函数2()log(1)fxx的反函数，若11[1()][1()]8fafb，则()fab的值是（A）1（B）2（C）3（D）2log3（4）把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点且当棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的度数为（A）90（B）60（C）45（D）30（5）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②。则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（A）分层抽样法，系统抽样法（B）分层抽样法，简单随机抽样法（C）系统抽样法，分层抽样法（D）简单随机抽样法，分层抽样法（6）设函数2,0,()2,0.xbxcxfxx„若(4)(0),(2)2fff，则关于x的方程()fxx的个数为（A）1（B）2（C）3（D）4（7）设0,0ab，则以下不等式中不恒成立的是（A）11()()4abab…（B）3322abab…（C）22222abab…（D）||abab…（8）数列na中，*11116,,N55nnnaaan，则120lim()nnaaa（A）25（B）27（C）14（D）425（9）设集合{(,)|R,yR}Uxyx，{(,)|20}Axyxym，{(,)Bxyxyn0}„，那么点(2,3)()UPACB的充要条件是（A）1,5mn（B）1,5mn(C）1,5mn（D）1,5mn2004年高考湖南卷数学试题和参考答案(理科)2/7（10）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（A）56（B）52（C）48（D）40（11）农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（A）4200元~4400元（B）4400元~4600元（C）4600元~4800元（D）4800元~5000元（12）设()fx、()gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数。当0x时，()()()()0fxgxfxgxⅱ且(3)0g。则不等式()()0fxgx的解集是（A）(3,0)(3,)x（B）(3,0)(0,3)（C）(,3)(3,)xx（D）(,3)(0,3)x第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（13）已知向量(cos,sin),a向量(3,1),b则|2|ab的最大值是。（14）同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量0表示结果中没有正面向上，则E。（15）若31()nxxx的展开式中常数项为84，则n。（16）设F是椭圆22176xy，且椭圆上至少有21个不同的点1(1,2,3,)Pi，使123||,||,||,FPFPFP组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为。三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知1sin(2)sin(2),(,),44442，求22sintancot1的值。（18）（本小题满分12分）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、乙两台机床加工的零件是一等品的概率为29。（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率。（19）（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，60,,ABCPAACaPB2PDa，点E在PD上，且PE：ED=2：1。（Ⅰ）证明PAABCD平面；（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；ADEP2004年高考湖南卷数学试题和参考答案(理科)3/7（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论。（20）（本小题满分12分）已知函数2()axfxxe，其中0,ae„为自然对数的底数。（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）求函数()fx在区间[0，1]上的最大值。（21）（本小题满分12分）如图，过抛物线24xy的对称轴上任一点(0,)(0)Pmm作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。（Ⅰ）设点P分有向线段AB所成的比为，证明()QPQAQB；（Ⅱ）设直线AB是方程是2120xy，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处共同的切线，求圆C的方程。（22）（本小题满分14分）如图，直线11:1(0,)2lykxkkky与211:22lyx相交于点P。直线1l与x轴交于点1P，过点1P作x轴的垂线交直线2l于点1Q，过点1Q作y轴的垂线直线1l于点2P，过点2P作x轴的垂线交直线2l于点2Q，…，这样一直作下去，可得到一系列点1P，1Q，2P，2Q，…。点(1,2,)nPn的横坐标构成数列nx。（Ⅰ）证明*111(1),N2nnxxnk；（Ⅱ）求数列nx的通项公式；（Ⅲ）比较22||nPP与2214||5kPP的大小。xyBPAOQOP1P2Q2P3PQ1xyl1l22004年高考湖南卷数学试题和参考答案(理科)4/7BCDAPEGH2004年普通高等学校招生湖南卷理工农医类数学试题参考答案1.D2.A3.B4.C5.B6.C7.B8.C9.A10.C11.B12.D13．414．0.7515．916．]101,0()0,101[17．解：由)24cos()24sin()24sin()24sin(,414cos21)42sin(21得.214cos又.125),2,4(所以于是2sin2cos22coscossincossin2cos1cottansin2222.325)3223()65cot265(cos)2cot22(cos18．解：（Ⅰ）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.由题设条件有.92)()(,121))(1()(,41))(1()(.92)(,121)(,41)(CPAPCPBPBPAPCAPCBPBAP即由①、③得)(891)(CPBP代入②得27[P(C)]2－51P(C)+22=0.解得91132)(或CP（舍去）.将32)(CP分别代入③、②可得.41)(,31)(BPAP即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是.32,41,31（Ⅱ）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则.653143321))(1))((1))((1(1)(1)(CPBPAPDPDP故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.6519．（Ⅰ）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又PE:ED=2:1，所以.3360sin,32,31aAGGHaAGaEG从而,33tanGHEG.30①②③2004年高考湖南卷数学试题和参考答案(理科)5/7zyxBCDAPEFOBCDAPEFM（Ⅲ）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为).0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(aaCaaBA).31,32,0(),,0,0(),0,,0(aaEaPaD所以).0,21,23(),31,32,0(aaACaaAE).,21,23(),,0,0(aaaPCaAP).,21,23(aaaBP设点F是棱PC上的点，,10),,21,23(其中aaaPCPF则),21,23(),21,23(aaaaaaPFBPBF)).1(),1(21),1(23(aaa令AEACBF21得.311,341,1.31)1(,3221)1(21,23)1(2322112211即aaaaaaa解得.23,21,2121即21时，.2321AEACBF亦即，F是PC的中点时，BF、AC、AE共面.又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.解法二当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，证法一取PE的中点M，连结FM，则FM//CE.①由,21EDPEEM知E是MD的中点.连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.所以BM//OE.②由①、②知，平面BFM//平面AEC.又BF平面BFM，所以BF//平面AEC.证法二因为)(2121DPCDADCPBCBF.2123)(23)(212321ACAEADAEACADADDECDAD所以BF、AE、AC共面.又BF平面ABC，从而BF//平面AEC.2004年高考湖南卷数学试题和参考答案(理科)6/720．解：（Ⅰ）.)2()(axeaxxxf（i）当a=0时，令.0,0)(xxf得若),0()(,0)(,0在从而则xfxfx上单调递增；若)0,()(,0)(,0在从而则xfxfx上单调递减.（ii）当a0时，令.20,0)2(,0)(axxaxxxf或故得若)0,()(,0)(,0在从而则xfxfx上单调递减；若)2,0()(,0)(,20axfxfax在从而则上单调递增；若,2ax),2()(,0)(axfxf在从而则上单调递减.（Ⅱ）（i）当a=0时，)(xf在区间[0，1]上的最大值是.1)1(f（ii）当02a时，)(xf在区间[0，1]上的最大值是aef)1(.（iii）当2a时，)(xf在区间[0，1]上的最大值是.4)2(22eaaf21．解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为,mkxy代入抛物线方程yx42得.0442mkxx①设A、B两点的坐标分别是),(11yx、122),,(xyx则、